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beweisen sec(2a)+tan(2a)=(cos(a)+sin(a))/(cos(a)-sin(a))

Lösung

beweisen

sec (2 a) + tan (2 a) = \frac{cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a ) - sin ( a )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sec (2 a) + tan (2 a) = \frac{cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a ) - sin ( a )}

Manipuliere die linke Seite

sec (2 a) + tan (2 a)

Drücke mit sin, cos aus

sec (2 a) + tan (2 a)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 a )} + tan (2 a)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( 2 a )} + \frac{sin ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

Vereinfache

\frac{1}{cos ( 2 a )} + \frac{sin ( 2 a )}{cos ( 2 a )} : \frac{1 + sin ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

\frac{1}{cos ( 2 a )} + \frac{sin ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + sin ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

= \frac{1 + sin ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

= \frac{1 + sin ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 + sin ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) + sin ( 2 a )}{cos ( 2 a )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) + 2 sin ( a ) cos ( a )}{cos ( 2 a )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) + 2 sin ( a ) cos ( a )}{cos ^{2} ( a ) - sin ^{2} ( a )}

Vereinfache

\frac{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) + 2 sin ( a ) cos ( a )}{cos ^{2} ( a ) - sin ^{2} ( a )} : \frac{sin ( a ) + cos ( a )}{cos ( a ) - sin ( a )}

\frac{cos ^{2} ( a ) + sin ^{2} ( a ) + 2 sin ( a ) cos ( a )}{cos ^{2} ( a ) - sin ^{2} ( a )}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = sin (a), b = cos (a)

= \frac{( sin ( a ) + cos ( a ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( a ) - sin ^{2} ( a )}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (a) - sin^{2} (a) = (cos (a) + sin (a)) (cos (a) - sin (a))

= \frac{( sin ( a ) + cos ( a ) ) ^{2}}{( cos ( a ) + sin ( a ) ) ( cos ( a ) - sin ( a ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (a) + cos (a)

= \frac{sin ( a ) + cos ( a )}{cos ( a ) - sin ( a )}

= \frac{sin ( a ) + cos ( a )}{cos ( a ) - sin ( a )}

= \frac{sin ( a ) + cos ( a )}{cos ( a ) - sin ( a )}

= \frac{cos ( a ) + sin ( a )}{cos ( a ) - sin ( a )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sec^{2} (x) = \frac{1}{1 - sin ^{2} ( x )}

p ro v e cos (- x) + sin (- x) = cos (x) - sin (x)

p ro v e \frac{1 - cos ( 2 θ )}{cos ( 2 θ ) + 1} = tan^{2} (θ)

p ro v e cos (x - \frac{π}{3}) - sin (x + \frac{π}{6}) = 0

p ro v e \frac{( cos ( x ) + 1 )}{sin ^{3} ( x )} = \frac{( csc ( x ) )}{1 - cos ( x )}