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beweisen sin^2(x)= 1/(1+cot^2(x))

Lösung

beweisen

sin^{2} (x) = \frac{1}{1 + cot ^{2} ( x )}

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) = \frac{1}{1 + cot ^{2} ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1}{1 + cot ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{1 + cot ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1}{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

\frac{1}{1 + ( \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1}{1 + \frac{c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Füge

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

zusammen:

\frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

1 + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{s i n ^{2} ( x ) + c o s ^{2} ( x )}{s i n ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x )}

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= \frac{sin ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sin^{2} (x)

= sin^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{2 sec ^{2} ( x ) - 2 tan ^{2} ( x )}{csc ( x )} = sin (2 x) sec (x)

p ro v e sin (2 α) = 2 sin (α) cos (α)

p ro v e (1 + csc (x)) (1 + csc (- x)) = - cot^{2} (x)

p ro v e cos (0) - sec (0) = - sin (0) tan (0)

p ro v e tan (\frac{π}{6}) = \frac{1}{3}