English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular Trigonometria >

provar sec(2x)=(sec^2(x)+sec^4(x))/(2+sec^2(x)-sec^4(x))

Solução

provar

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

Manipular o lado esquerdo

\frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

Expresar com seno, cosseno

\frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}

Simplificar

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}} : \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} - \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} + \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}{2 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} - \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}

Simplificar

2 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

em uma fração:

\frac{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{4} ( x )}

2 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Converter para fração:

2 = \frac{2}{1}

= \frac{2}{1} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

1, cos^{2} (x), cos^{4} (x) : cos^{4} (x)

1, cos^{2} (x), cos^{4} (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes em ao menos uma das expressões fatoradas

= cos^{4} (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{2}{1} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos^{4} (x)

\frac{2}{1} = \frac{2 cos ^{4} ( x )}{1 \cdot cos ^{4} ( x )} = \frac{2 cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

Para

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos^{2} (x)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{2 cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} + \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}{\frac{2 c o s ^{4} ( x ) + c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{4} ( x )}}

Simplificar

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

em uma fração:

\frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{4} ( x )}

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

cos^{2} (x), cos^{4} (x) : cos^{4} (x)

cos^{2} (x), cos^{4} (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

cos^{2} (x)

quanto em

cos^{4} (x)

= cos^{4} (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos^{2} (x)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{4} ( x )}}{\frac{2 c o s ^{4} ( x ) + c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{4} ( x )}}

Dividir frações:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + 1 ) cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x ) ( 2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1 )}

Eliminar o fator comum:

cos^{4} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}

Fatorar

2 cos^{4} (x) + cos^{2} (x) - 1 : (2 cos^{2} (x) - 1) (cos^{2} (x) + 1)

2 cos^{4} (x) + cos^{2} (x) - 1

Considere

u = cos^{2} (x)

= 2 u^{2} + u - 1

Fatorar

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Fatorar a expressão

2 u^{2} + u - 1

Definição

Fatores de

2 : 1, 2

2

Divisores (fatores)

Encontre os fatores primos de

2 : 2

2

2

é um número primo, portanto é possível fatorá-lo

= 2

Adicione 1

1

Divisores de

2

1, 2

Fatores negativos de

2 : - 1, - 2

Multiplicar os números por

- 1

para obter divisores negativos

- 1, - 2

Para cada dois fatores tais que

u * v = - 2,

verifique se

u + v = 1

Verifique

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalsoVerifique

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Verdadeiro

u = 2, v = - 1

Agrupe em

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Fatorar

u

2 u^{2} - u

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fatorar o termo comum

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Fatorar o termo comum

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

= (2 u - 1) (u + 1)

Substituir na equação

u = cos^{2} (x)

= (cos^{2} (x) + 1) (2 cos^{2} (x) - 1)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{( 2 cos ^{2} ( x ) - 1 ) ( cos ^{2} ( x ) + 1 )}

Eliminar o fator comum:

cos^{2} (x) + 1

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica do arco duplo:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Simplificar

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 x )}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= sec (2 x)

sec (2 x)

sec (2 x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar 1/(csc(x))= 1/(sin(x))

p ro v e \frac{1}{csc ( x )} = \frac{1}{sin ( x )}

provar 1+tan^2(A)=sec^3(A)cos(A)

p ro v e 1 + tan^{2} (A) = sec^{3} (A) cos (A)

provar sec(0)-cos(0)=tan(0)sin(0)

p ro v e sec (0) - cos (0) = tan (0) sin (0)

provar 1-sin(θ)cos(θ)tan(θ)=cos^2(θ)

p ro v e 1 - sin (θ) cos (θ) tan (θ) = cos^{2} (θ)

provar tan^2(x)+sin(x)csc(x)=sec^2(x)

p ro v e tan^{2} (x) + sin (x) csc (x) = sec^{2} (x)