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人気のある三角関数 >

証明する sec(2x)=(sec^2(x)+sec^4(x))/(2+sec^2(x)-sec^4(x))

解

証明する

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

解

真

解答ステップ

sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

右側を操作する

\frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

サイン, コサインで表わす

\frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}

簡素化

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}} : \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

\frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} - ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} + ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{4}}{2 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} - \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4} = \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{4}

指数の規則を適用する:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{4}}{cos ^{4} ( x )}

規則を適用

1^{a} = 1

1^{4} = 1

= \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} + \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}{2 + \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} - \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}

結合

2 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )} : \frac{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{4} ( x )}

2 + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

元を分数に変換する:

2 = \frac{2}{1}

= \frac{2}{1} + \frac{1}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

以下の最小公倍数:

1, cos^{2} (x), cos^{4} (x) : cos^{4} (x)

1, cos^{2} (x), cos^{4} (x)

最小公倍数 (LCM)

因数分解された式の 1 つ以上に合わられる因数で構成された式を計算する

= cos^{4} (x)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

cos^{4} (x)

\frac{2}{1}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos^{4} (x)

\frac{2}{1} = \frac{2 cos ^{4} ( x )}{1 \cdot cos ^{4} ( x )} = \frac{2 cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

\frac{1}{cos ^{2} ( x )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos^{2} (x)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{2 cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x )} + \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )} - \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} + \frac{1}{c o s ^{4} ( x )}}{\frac{2 c o s ^{4} ( x ) + c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{4} ( x )}}

結合

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )} : \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{4} ( x )}

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

以下の最小公倍数:

cos^{2} (x), cos^{4} (x) : cos^{4} (x)

cos^{2} (x), cos^{4} (x)

最小公倍数 (LCM)

cos^{2} (x)

または以下のいずれかに現れる因数で構成された式を計算する:

cos^{4} (x)

= cos^{4} (x)

LCMに基づいて分数を調整する

該当する分母を乗じてLCMに変えるために

必要な量で各分子を乗じる

cos^{4} (x)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )}

の場合

:

分母と分子に以下を乗じる:

cos^{2} (x)

\frac{1}{cos ^{2} ( x )} = \frac{1 \cdot cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{4} ( x )} + \frac{1}{cos ^{4} ( x )}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{cos ^{4} ( x )}

= \frac{\frac{c o s ^{2} ( x ) + 1}{c o s ^{4} ( x )}}{\frac{2 c o s ^{4} ( x ) + c o s ^{2} ( x ) - 1}{c o s ^{4} ( x )}}

分数を割る:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( cos ^{2} ( x ) + 1 ) cos ^{4} ( x )}{cos ^{4} ( x ) ( 2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1 )}

共通因数を約分する:

cos^{4} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{2 cos ^{4} ( x ) + cos ^{2} ( x ) - 1}

因数

2 cos^{4} (x) + cos^{2} (x) - 1 : (2 cos^{2} (x) - 1) (cos^{2} (x) + 1)

2 cos^{4} (x) + cos^{2} (x) - 1

u =

にする

cos^{2} (x)

= 2 u^{2} + u - 1

因数

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

式をグループに分ける

2 u^{2} + u - 1

定義

以下の因数:

2 : 1, 2

2

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

2 : 2

2

2

は素数なので, 因数分解できない

= 2

1 を加える

1

以下の因数:

2

1, 2

以下の負の因数:

2 : - 1, - 2

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2

u * v = - 2

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = 1

以下をチェックする:

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

真

u = 2, v = - 1

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

u

を

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

からくくり出す

2 u^{2} - u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

共通項をくくり出す

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

共通項をくくり出す

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

= (2 u - 1) (u + 1)

代用を戻す

u = cos^{2} (x)

= (cos^{2} (x) + 1) (2 cos^{2} (x) - 1)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + 1}{( 2 cos ^{2} ( x ) - 1 ) ( cos ^{2} ( x ) + 1 )}

共通因数を約分する:

cos^{2} (x) + 1

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{2 cos ^{2} ( x ) - 1}

= \frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{1}{- 1 + 2 cos ^{2} ( x )}

2倍角の公式を使用:

2 cos^{2} (x) - 1 = cos (2 x)

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

= \frac{1}{cos ( 2 x )}

三角関数の公式を使用して書き換える

基本的な三角関数の公式を使用する:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

簡素化

\frac{1}{\frac{1}{s e c ( 2 x )}}

分数の規則を適用する:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ( 2 x )}{1}

規則を適用

\frac{a}{1} = a

= sec (2 x)

sec (2 x)

sec (2 x)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する 1/(csc(x))= 1/(sin(x))

p ro v e \frac{1}{csc ( x )} = \frac{1}{sin ( x )}

証明する 1+tan^2(A)=sec^3(A)cos(A)

p ro v e 1 + tan^{2} (A) = sec^{3} (A) cos (A)

証明する sec(0)-cos(0)=tan(0)sin(0)

p ro v e sec (0) - cos (0) = tan (0) sin (0)

証明する 1-sin(θ)cos(θ)tan(θ)=cos^2(θ)

p ro v e 1 - sin (θ) cos (θ) tan (θ) = cos^{2} (θ)

証明する tan^2(x)+sin(x)csc(x)=sec^2(x)

p ro v e tan^{2} (x) + sin (x) csc (x) = sec^{2} (x)