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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(60)=(2tan(30))/(1-tan^2(30))

Lösung

beweisen

tan (6 0^{\circ}) = \frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (6 0^{\circ}) = \frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

Manipuliere die linke Seite

tan (6 0^{\circ})

Vereinfache

= 3

Manipuliere die rechte Seite

\frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

Vereinfache

\frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )} : 3

\frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

2 tan (3 0^{\circ}) = 2 \cdot \frac{3}{3}

2 tan (3 0^{\circ})

Vereinfache

tan (3 0^{\circ}) : \frac{3}{3}

tan (3 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

tan (3 0^{\circ}) = \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

18 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

= 2 \cdot \frac{3}{3}

= \frac{2 \cdot \frac{3}{3}}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

1 - tan^{2} (3 0^{\circ}) = 1 - (\frac{3}{3})^{2}

1 - tan^{2} (3 0^{\circ})

Vereinfache

tan (3 0^{\circ}) : \frac{3}{3}

tan (3 0^{\circ})

Verwende die folgende triviale Identität:

tan (3 0^{\circ}) = \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

18 0^{\circ} n

Zyklus:

x 0 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ} 12 0^{\circ} 13 5^{\circ} 15 0^{\circ} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

= 1 - (\frac{3}{3})^{2}

= \frac{2 \cdot \frac{3}{3}}{1 - ( \frac{3}{3} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{2 \cdot \frac{3}{3}}{1 - ( \frac{3}{3} ) ^{2}}

(\frac{3}{3})^{2} = \frac{1}{3}

(\frac{3}{3})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{( 3 ) ^{2}}{3 ^{2}}

(3)^{2} : 3

Wende Radikal Regel an:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= 1

= 3

= \frac{3}{3 ^{2}}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= \frac{1}{3}

= \frac{2 \cdot \frac{3}{3}}{1 - \frac{1}{3}}

Multipliziere

2 \cdot \frac{3}{3} : \frac{2}{3}

2 \cdot \frac{3}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 \cdot 2}{3}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}{3}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Wende Radikal Regel an:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{2}{3}

= \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{3}}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2}{3 ( 1 - \frac{1}{3} )}

Füge

1 - \frac{1}{3}

zusammen:

\frac{2}{3}

1 - \frac{1}{3}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 \cdot 3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 - 1}{3}

1 \cdot 3 - 1 = 2

1 \cdot 3 - 1

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= 3 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 1 = 2

= 2

= \frac{2}{3}

= \frac{2}{3 \frac{2}{3}}

Multipliziere

3 \frac{2}{3} : \frac{2}{3}

3 \frac{2}{3}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 3}{3}

Wende Radikal Regel an:

n a = a^{\frac{1}{n}}

3 = 3^{\frac{1}{2}}

= \frac{2 \cdot 3 ^{\frac{1}{2}}}{3}

Wende Exponentenregel an:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = \frac{1}{x ^{b - a}}

\frac{3 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{1}} = \frac{1}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

= \frac{2}{3 ^{1 - \frac{1}{2}}}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= \frac{2}{3 ^{\frac{1}{2}}}

Wende Radikal Regel an:

a^{\frac{1}{n}} = n a

3^{\frac{1}{2}} = 3

= \frac{2}{3}

= \frac{2}{\frac{2}{3}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{2 3}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 3

= 3

= 3

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

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