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dimostrare csc(A)=(cos(2A))/(sin(A))+(sin(2A))/(cos(A))

Soluzione

dimostrare

csc (A) = \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + \frac{sin ( 2 A )}{cos ( A )}

Vero

Fasi della soluzione

csc (A) = \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + \frac{sin ( 2 A )}{cos ( A )}

Manipolando il lato sinistro

csc (A)

Esprimere con sen e cos

csc (A)

Usare l'identità trigonometrica di base:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( A )}

= \frac{1}{sin ( A )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{1}{sin ( A )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

1 - 2 sin^{2} (x) = cos (2 x)

1 = cos (2 x) + 2 sin^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 A ) + 2 sin ^{2} ( A )}{sin ( A )}

= \frac{cos ( 2 A ) + 2 sin ^{2} ( A )}{sin ( A )}

Espandi

\frac{cos ( 2 A ) + 2 sin ^{2} ( A )}{sin ( A )} : \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + 2 sin (A)

\frac{cos ( 2 A ) + 2 sin ^{2} ( A )}{sin ( A )}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a \pm b}{c} = \frac{a}{c} \pm \frac{b}{c}

\frac{cos ( 2 A ) + 2 sin ^{2} ( A )}{sin ( A )} = \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + \frac{2 sin ^{2} ( A )}{sin ( A )}

= \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + \frac{2 sin ^{2} ( A )}{sin ( A )}

Cancellare

\frac{2 sin ^{2} ( A )}{sin ( A )} : 2 sin (A)

\frac{2 sin ^{2} ( A )}{sin ( A )}

Cancella il fattore comune:

sin (A)

= 2 sin (A)

= \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + 2 sin (A)

= \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + 2 sin (A)

Manipolando il lato destro

\frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + \frac{sin ( 2 A )}{cos ( A )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + \frac{sin ( 2 A )}{cos ( A )}

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + \frac{2 sin ( A ) cos ( A )}{cos ( A )}

Cancellare

\frac{2 sin ( A ) cos ( A )}{cos ( A )} : 2 sin (A)

\frac{2 sin ( A ) cos ( A )}{cos ( A )}

Cancella il fattore comune:

cos (A)

= 2 sin (A)

= \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + 2 sin (A)

= \frac{cos ( 2 A )}{sin ( A )} + 2 sin (A)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

p ro v e sin^{2} (θ) = 1 + cos^{2} (θ)

p ro v e sin (\frac{π}{2}) = \frac{4}{2}

p ro v e sec (\frac{π}{4} + a) sec (\frac{π}{4} - a) = 2 sec (2 a)

p ro v e cot^{2} (\frac{v}{2}) = \frac{( sec ( v ) + 1 )}{( sec ( v ) - 1 )}

p ro v e cot (3) = \frac{cos ( 3 )}{sin ( 3 )}