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Populaire Trigonométrie >

2sin^2(x)+3sin(x)>= 2

Solution

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2

Solution

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

La notation des intervalles

[\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn]

Décimale

0.52359 \dots + 2 πn \leq x \leq 2.61799 \dots + 2 πn

étapes des solutions

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2

Soit :

u = sin (x)

2 u^{2} + 3 u \geq 2

2 u^{2} + 3 u \geq 2 : u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Récrire sous la forme standard

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Soustraire

2

des deux côtés

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 2 - 2

Simplifier

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

Factoriser

2 u^{2} + 3 u - 2 : (2 u - 1) (u + 2)

2 u^{2} + 3 u - 2

Décomposer l'expression en groupes

2 u^{2} + 3 u - 2

Définition

Facteurs de

4 : 1, 2, 4

4

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

4 : 2, 2

4

4

divisée par

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2

Ajouter les facteurs premiers :

2

Ajouter 1 et le nombre

4

lui-même

1, 4

Les facteurs de

4

1, 2, 4

Facteurs négatifs de

4 : - 1, - 2, - 4

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2, - 4

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 4,

vérifier si

u + v = 3

Vérifier

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

FauxVérifier

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Faux

u = 4, v = - 1

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

= (2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

Factoriser

u

depuis

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Factoriser le terme commun

u

= u (2 u - 1)

Factoriser

2

depuis

4 u - 2 : 2 (2 u - 1)

4 u - 2

Récrire

4

comme

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 u - 2

Factoriser le terme commun

2

= 2 (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)

Factoriser le terme commun

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 2)

(2 u - 1) (u + 2) \geq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(2 u - 1) (u + 2)

Trouver les signes de

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

2 u = 1

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u = 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Simplifier

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 < 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Simplifier

2 u < 1

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u < 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Simplifier

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

2 u - 1 > 0

Ajouter

1

aux deux côtés

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Simplifier

2 u > 1

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

2 u > 1

Diviser les deux côtés par

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Simplifier

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trouver les signes de

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u + 2 = 0

Soustraire

2

des deux côtés

u + 2 - 2 = 0 - 2

Simplifier

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Déplacer

2

vers la droite

u + 2 < 0

Soustraire

2

des deux côtés

u + 2 - 2 < 0 - 2

Simplifier

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Déplacer

2

vers la droite

u + 2 > 0

Soustraire

2

des deux côtés

u + 2 - 2 > 0 - 2

Simplifier

u > - 2

u > - 2

Récapituler dans un tableau:

2 u - 1 u + 2 (2 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\geq 0

u < - 2 or u = - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u < - 2

u = - 2

u \leq - 2

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u \leq - 2

u = \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

Remplacer

u = sin (x)

sin (x) \leq - 2 or sin (x) \geq \frac{1}{2}

sin (x) \leq - 2 :

Faux pour toute

x \in R

sin (x) \leq - 2

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq - 2 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Faux

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \leq - 2

- 1 \leq y \leq 1

Faux pour toute y \in R

Faux pour toute y \in R

Aucune solution pour x \in R

Faux pour toute x \in R

sin (x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Pour

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Simplifier

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Simplifier

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Simplifier

π - \frac{π}{6}

Convertir un élément en fraction:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Additionner les éléments similaires :

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Réunir les intervalles

Faux pour toute x \in R or \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Exemples populaires

cos(x)<=-1/2

cos^2(x)<=-sin(x)

tan(θ)>0,sin(θ)<0

(1+2sin(x))/((cos(2x)))>0

(cos^2(x)-1/2)/(tan(x)-sqrt(3))<0