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受欢迎的三角函数 >

tan^2(x)+2tan(x)>3

解答

tan^{2} (x) + 2 tan (x) > 3

解答

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

+2

间隔符号

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (- \frac{π}{2} + πn, - arctan (3) + πn)

十进制

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or - 1.57079 \dots + πn < x < - 1.24904 \dots + πn

求解步骤

tan^{2} (x) + 2 tan (x) > 3

令

: u = tan (x)

u^{2} + 2 u > 3

u^{2} + 2 u > 3 : u < - 3 or u > 1

u^{2} + 2 u > 3

改写为标准形式

u^{2} + 2 u > 3

两边减去

3

u^{2} + 2 u - 3 > 3 - 3

化简

u^{2} + 2 u - 3 > 0

u^{2} + 2 u - 3 > 0

分解

u^{2} + 2 u - 3 : (u - 1) (u + 3)

u^{2} + 2 u - 3

将表达式拆分成组

u^{2} + 2 u - 3

定义

3

的因数:

1, 3

3

约数 (因数)

找到

3

的质因数:

3

3

3

是质数，因此无法因数分解

= 3

加 1

1

3

的因数

1, 3

3

的负因数:

- 1, - 3

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 3

对于每两个因数

u * v = - 3

，检验是否

u + v = 2

检验

u = 1, v = - 3 : u * v = - 3, u + v = - 2 \Rightarrow

假检验

u = 3, v = - 1 : u * v = - 3, u + v = 2 \Rightarrow

真

u = 3, v = - 1

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - u) + (3 u - 3)

= (u^{2} - u) + (3 u - 3)

从

u^{2} - u

分解出因式

u

:

u (u - 1)

u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

因式分解出通项

u

= u (u - 1)

从

3 u - 3

分解出因式

3

:

3 (u - 1)

3 u - 3

因式分解出通项

3

= 3 (u - 1)

= u (u - 1) + 3 (u - 1)

因式分解出通项

u - 1

= (u - 1) (u + 3)

(u - 1) (u + 3) > 0

确定区间

确定

(u - 1) (u + 3)

符号

确定

u - 1

符号

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

将

1

到右边

u - 1 < 0

两边加上

1

u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

将

1

到右边

u - 1 > 0

两边加上

1

u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

u > 1

u > 1

确定

u + 3

符号

u + 3 = 0 : u = - 3

u + 3 = 0

将

3

到右边

u + 3 = 0

两边减去

3

u + 3 - 3 = 0 - 3

化简

u = - 3

u = - 3

u + 3 < 0 : u < - 3

u + 3 < 0

将

3

到右边

u + 3 < 0

两边减去

3

u + 3 - 3 < 0 - 3

化简

u < - 3

u < - 3

u + 3 > 0 : u > - 3

u + 3 > 0

将

3

到右边

u + 3 > 0

两边减去

3

u + 3 - 3 > 0 - 3

化简

u > - 3

u > - 3

总结如下表：

u - 1 u + 3 (u - 1) (u + 3) u < - 3 - - + u = - 3 - 00 - 3 < u < 1 - + - u = 1 0 + 0 u > 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

> 0

u < - 3 or u > 1

u < - 3 or u > 1

u < - 3 or u > 1

u = tan (x)

代回

tan (x) < - 3 or tan (x) > 1

tan (x) < - 3 : - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

tan (x) < - 3

若

tan (x) < a

，则

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (- 3) + πn

化简

arctan (- 3) : - arctan (3)

arctan (- 3)

利用以下特性:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 3) = - arctan (3)

= - arctan (3)

- \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

tan (x) > 1 : \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) > 1

若

tan (x) > a

，则

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

化简

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

使用以下普通恒等式:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

合并区间

- \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn or \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

合并重叠的区间

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

流行的例子

sin^{2} (2 t) < 0

5sin(1/2 (x+pi/4))-1>=-7

5 sin (\frac{1}{2} (x + \frac{π}{4})) - 1 \geq - 7

cos^{2} (x) < \frac{1}{2}

1/(sin^2(x))>= 1

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

tan(x)>= 1/(sqrt(3))

tan (x) \geq \frac{1}{3}