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Beliebt Trigonometrie >

tan^2(x)+2tan(x)>3

Lösung

tan^{2} (x) + 2 tan (x) > 3

Lösung

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{4} + πn, \frac{π}{2} + πn) \cup (- \frac{π}{2} + πn, - arctan (3) + πn)

Dezimale

0.78539 \dots + πn < x < 1.57079 \dots + πn or - 1.57079 \dots + πn < x < - 1.24904 \dots + πn

Schritte zur Lösung

tan^{2} (x) + 2 tan (x) > 3

Angenommen:

u = tan (x)

u^{2} + 2 u > 3

u^{2} + 2 u > 3 : u < - 3 or u > 1

u^{2} + 2 u > 3

Rewrite in standard form

u^{2} + 2 u > 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

u^{2} + 2 u - 3 > 3 - 3

Vereinfache

u^{2} + 2 u - 3 > 0

u^{2} + 2 u - 3 > 0

Faktorisiere

u^{2} + 2 u - 3 : (u - 1) (u + 3)

u^{2} + 2 u - 3

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

u^{2} + 2 u - 3

Definition

Faktoren von

3 : 1, 3

3

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

3 : 3

3

3

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 3

Addiere 1

1

Die Faktoren von

3

1, 3

Negative Faktoren von

3 : - 1, - 3

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 3

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 3,

prüfe, ob

u + v = 2

Prüfe

u = 1, v = - 3 : u * v = - 3, u + v = - 2 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 3, v = - 1 : u * v = - 3, u + v = 2 \Rightarrow

Wahr

u = 3, v = - 1

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - u) + (3 u - 3)

= (u^{2} - u) + (3 u - 3)

Klammere

u

aus

u^{2} - u

aus

: u (u - 1)

u^{2} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (u - 1)

Klammere

3

aus

3 u - 3

aus

: 3 (u - 1)

3 u - 3

Klammere gleiche Terme aus

3

= 3 (u - 1)

= u (u - 1) + 3 (u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

u - 1

= (u - 1) (u + 3)

(u - 1) (u + 3) > 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(u - 1) (u + 3)

Finde die Vorzeichen von

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

u > 1

u > 1

Finde die Vorzeichen von

u + 3

u + 3 = 0 : u = - 3

u + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

u + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

u = - 3

u = - 3

u + 3 < 0 : u < - 3

u + 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u + 3 < 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

u + 3 - 3 < 0 - 3

Vereinfache

u < - 3

u < - 3

u + 3 > 0 : u > - 3

u + 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

u + 3 > 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

u + 3 - 3 > 0 - 3

Vereinfache

u > - 3

u > - 3

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u - 1 u + 3 (u - 1) (u + 3) u < - 3 - - + u = - 3 - 00 - 3 < u < 1 - + - u = 1 0 + 0 u > 1 + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

u < - 3 or u > 1

u < - 3 or u > 1

u < - 3 or u > 1

Setze in

u = tan (x)

ein

tan (x) < - 3 or tan (x) > 1

tan (x) < - 3 : - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

tan (x) < - 3

Wenn

tan (x) < a

dann

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (- 3) + πn

Vereinfache

arctan (- 3) : - arctan (3)

arctan (- 3)

Verwende die folgende Eigenschaft:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 3) = - arctan (3)

= - arctan (3)

- \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

tan (x) > 1 : \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) > 1

Wenn

tan (x) > a

dann

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Vereinfache

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn or \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn or - \frac{π}{2} + πn < x < - arctan (3) + πn

Beliebte Beispiele

sin^2(2t)<0

sin^{2} (2 t) < 0

5sin(1/2 (x+pi/4))-1>=-7

5 sin (\frac{1}{2} (x + \frac{π}{4})) - 1 \geq - 7

cos^2(x)< 1/2

cos^{2} (x) < \frac{1}{2}

1/(sin^2(x))>= 1

\frac{1}{sin ^{2} ( x )} \geq 1

tan(x)>= 1/(sqrt(3))

tan (x) \geq \frac{1}{3}