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受欢迎的三角函数 >

tan^2(x)-3tan(x)+2<0

解答

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

解答

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

+2

间隔符号

(\frac{π}{4} + πn, arctan (2) + πn)

十进制

0.78539 \dots + πn < x < 1.10714 \dots + πn

求解步骤

tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 2 < 0

令

: u = tan (x)

u^{2} - 3 u + 2 < 0

u^{2} - 3 u + 2 < 0 : 1 < u < 2

u^{2} - 3 u + 2 < 0

分解

u^{2} - 3 u + 2 : (u - 1) (u - 2)

u^{2} - 3 u + 2

将表达式拆分成组

u^{2} - 3 u + 2

定义

2

的因数:

1, 2

2

约数 (因数)

找到

2

的质因数:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

加 1

1

2

的因数

1, 2

2

的负因数:

- 1, - 2

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2

对于每两个因数

u * v = 2

，检验是否

u + v = - 3

检验

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

假检验

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

真

u = - 1, v = - 2

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

= (u^{2} - u) + (- 2 u + 2)

从

u^{2} - u

分解出因式

u

:

u (u - 1)

u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu - u

因式分解出通项

u

= u (u - 1)

从

- 2 u + 2

分解出因式

- 2

:

- 2 (u - 1)

- 2 u + 2

因式分解出通项

- 2

= - 2 (u - 1)

= u (u - 1) - 2 (u - 1)

因式分解出通项

u - 1

= (u - 1) (u - 2)

(u - 1) (u - 2) < 0

确定区间

确定

(u - 1) (u - 2)

符号

确定

u - 1

符号

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

将

1

到右边

u - 1 < 0

两边加上

1

u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

将

1

到右边

u - 1 > 0

两边加上

1

u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

u > 1

u > 1

确定

u - 2

符号

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

将

2

到右边

u - 2 = 0

两边加上

2

u - 2 + 2 = 0 + 2

化简

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

将

2

到右边

u - 2 < 0

两边加上

2

u - 2 + 2 < 0 + 2

化简

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

将

2

到右边

u - 2 > 0

两边加上

2

u - 2 + 2 > 0 + 2

化简

u > 2

u > 2

总结如下表：

u - 1 u - 2 (u - 1) (u - 2) u < 1 - - + u = 1 0 - 0 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

确定满足所需条件的区间：

< 0

1 < u < 2

1 < u < 2

1 < u < 2

u = tan (x)

代回

1 < tan (x) < 2

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

1 < tan (x) and tan (x) < 2

1 < tan (x) : \frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

1 < tan (x)

交换两边

tan (x) > 1

若

tan (x) > a

，则

arctan (a) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

arctan (1) + πn < x < \frac{π}{2} + πn

化简

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

使用以下普通恒等式:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 2 : - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

tan (x) < 2

若

tan (x) < a

，则

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

合并区间

\frac{π}{4} + πn < x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < arctan (2) + πn

合并重叠的区间

\frac{π}{4} + πn < x < arctan (2) + πn

流行的例子

solvefor x,arctan(|x-y|)>0

so l v e f or x, arctan (∣ x - y ∣) > 0

cot^{2} (2 t) < 0

solvefor x,sin(((x))/(cos(y)))>0

so l v e f or x, sin (\frac{( x )}{cos ( y )}) > 0

-5(sin(x)+cos(x))>0

- 5 (sin (x) + cos (x)) > 0

- sin (x) \leq 1