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Beliebt Trigonometrie >

sec(x)<= cos(x)

Lösung

sec (x) \leq cos (x)

Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Dezimale

1.57079 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

sec (x) \leq cos (x)

Verschiebe

cos (x)

auf die linke Seite

sec (x) \leq cos (x)

Subtrahiere

cos (x)

von beiden Seiten

sec (x) - cos (x) \leq cos (x) - cos (x)

sec (x) - cos (x) \leq 0

sec (x) - cos (x) \leq 0

Periodizität von

sec (x) - cos (x) : 2 π

Die zusammengesetzte Periodizität der Summe der periodischen Funktionen ist der kleinste gemeinsame Multiplikator der Perioden

sec (x), cos (x)

Periodizität von

sec (x) : 2 π

Die Periodizität von

sec (x)

ist

2 π

= 2 π

Periodizität von

cos (x) : 2 π

Die Periodizität von

cos (x)

ist

2 π

= 2 π

Kombiniere Perioden:

2 π, 2 π

= 2 π

Drücke mit sin, cos aus

sec (x) - cos (x) \leq 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - cos (x) \leq 0

\frac{1}{cos ( x )} - cos (x) \leq 0

Vereinfache

\frac{1}{cos ( x )} - cos (x) : \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1}{cos ( x )} - cos (x)

Wandle das Element in einen Bruch um:

cos (x) = \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1}{cos ( x )} - \frac{cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 - cos ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

1 - cos (x) cos (x) = 1 - cos^{2} (x)

1 - cos (x) cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} \leq 0

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )}

für

0 \leq x < 2 π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

Löse mit Substitution

\frac{1 - cos ^{2} ( x )}{cos ( x )} = 0

Angenommen:

cos (x) = u

\frac{1 - u ^{2}}{u} = 0

\frac{1 - u ^{2}}{u} = 0 : u = 1, u = - 1

\frac{1 - u ^{2}}{u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 - u^{2} = 0

Löse

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - u^{2} = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

- u^{2} = - 1

Teile beide Seiten durch

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Vereinfache

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Für

x^{2} = f (a)

sind die Lösungen

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Wende Regel an

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Wende Regel an

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

\frac{1 - u ^{2}}{u}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 1, u = - 1

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1, cos (x) = - 1

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π : x = 0

cos (x) = 1, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = 0

cos (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π : x = π

cos (x) = - 1, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = π

Kombiniere alle Lösungen

x = 0, x = π

Finde die unbestimmten Punkte:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π, π < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

1 - cos^{2} (x) cos (x) \frac{1 - c o s ^{2} ( x )}{c o s ( x )} x = 0 0 + 0 0 < x < \frac{π}{2} + + + x = \frac{π}{2} + 0 Unbestimmt \frac{π}{2} < x < π + - - x = π 0 - 0 π < x < \frac{3 π}{2} + - - x = \frac{3 π}{2} + 0 Unbestimmt \frac{3 π}{2} < x < 2 π + + + x = 2 π 0 + 0

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\leq 0

x = 0 or \frac{π}{2} < x < π or x = π or π < x < \frac{3 π}{2} or x = 2 π

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} or x = 2 π

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

x = 0

oder

\frac{π}{2} < x < π

x = 0 or \frac{π}{2} < x < π

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

x = 0 or \frac{π}{2} < x < π

oder

x = π

x = 0 or \frac{π}{2} < x \leq π

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

x = 0 or \frac{π}{2} < x \leq π

oder

π < x < \frac{3 π}{2}

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}

oder

x = 2 π

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} or x = 2 π

x = 0 or \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2} or x = 2 π

Verwende die Periodizität von

sec (x) - cos (x)

\frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

-sin(2x)>0

- sin (2 x) > 0

sin((n*pi}{(\frac{1+sqrt(5))/2)^2})>0

sin \frac{n \cdot π}{( \frac{1 + 5}{2} ) ^{2}} > 0

6-3cos((pit)/2)>6

6 - 3 cos (\frac{π t}{2}) > 6

(10pi)/9 <= arctan(θ)

\frac{10 π}{9} \leq arctan (θ)

cos(x)-1>=-2

cos (x) - 1 \geq - 2