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Beliebt Trigonometrie >

2cos^2(x)-3cos(x)+1<0

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Lösung

2cos2(x)−3cos(x)+1<0

Lösung

2πn<x<3π​+2πnor35π​+2πn<x<2π+2πn
+2
Intervall-Notation
(2πn,3π​+2πn)∪(35π​+2πn,2π+2πn)
Dezimale
2πn<x<1.04719…+2πnor5.23598…+2πn<x<6.28318…+2πn
Schritte zur Lösung
2cos2(x)−3cos(x)+1<0
Angenommen: u=cos(x)2u2−3u+1<0
2u2−3u+1<0:21​<u<1
2u2−3u+1<0
Faktorisiere 2u2−3u+1:(2u−1)(u−1)
2u2−3u+1
Zerlege die Ausdrücke in Gruppen
2u2−3u+1
Definition
Faktoren von 2:1,2
2
Teiler (Faktoren)
Finde die Primfaktoren von 2:2
2
2 ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich =2
Addiere 1 1
Die Faktoren von 21,2
Negative Faktoren von 2:−1,−2
Multipliziere die Faktoren mit −1 um die negativen Faktoren zu erhalten−1,−2
Für alle zwei Faktoren gilt u∗v=2,prüfe, ob u+v=−3
Prüfe u=1,v=2:u∗v=2,u+v=3⇒FalschPrüfe u=−1,v=−2:u∗v=2,u+v=−3⇒Wahr
u=−1,v=−2
Gruppiere (ax2+ux)+(vx+c)(2u2−u)+(−2u+1)
=(2u2−u)+(−2u+1)
Klammere u aus 2u2−uaus:u(2u−1)
2u2−u
Wende Exponentenregel an: ab+c=abacu2=uu=2uu−u
Klammere gleiche Terme aus u=u(2u−1)
Klammere −1 aus −2u+1aus:−(2u−1)
−2u+1
Klammere gleiche Terme aus −1=−(2u−1)
=u(2u−1)−(2u−1)
Klammere gleiche Terme aus 2u−1=(2u−1)(u−1)
(2u−1)(u−1)<0
Identifiziere die Intervalle
Finde die Vorzeichen der Faktoren von (2u−1)(u−1)
Finde die Vorzeichen von 2u−1
2u−1=0:u=21​
2u−1=0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
2u−1=0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzu2u−1+1=0+1
Vereinfache2u=1
2u=1
Teile beide Seiten durch 2
2u=1
Teile beide Seiten durch 222u​=21​
Vereinfacheu=21​
u=21​
2u−1<0:u<21​
2u−1<0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
2u−1<0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzu2u−1+1<0+1
Vereinfache2u<1
2u<1
Teile beide Seiten durch 2
2u<1
Teile beide Seiten durch 222u​<21​
Vereinfacheu<21​
u<21​
2u−1>0:u>21​
2u−1>0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
2u−1>0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzu2u−1+1>0+1
Vereinfache2u>1
2u>1
Teile beide Seiten durch 2
2u>1
Teile beide Seiten durch 222u​>21​
Vereinfacheu>21​
u>21​
Finde die Vorzeichen von u−1
u−1=0:u=1
u−1=0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u−1=0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzuu−1+1=0+1
Vereinfacheu=1
u=1
u−1<0:u<1
u−1<0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u−1<0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzuu−1+1<0+1
Vereinfacheu<1
u<1
u−1>0:u>1
u−1>0
Verschiebe 1auf die rechte Seite
u−1>0
Füge 1 zu beiden Seiten hinzuu−1+1>0+1
Vereinfacheu>1
u>1
Fasse in einer Tabelle zusammen:2u−1u−1(2u−1)(u−1)​u<21​−−+​u=21​0−0​21​<u<1+−−​u=1+00​u>1+++​​
Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen: <021​<u<1
21​<u<1
21​<u<1
Setze in u=cos(x)ein21​<cos(x)<1
Wenn a<u<bdann a<uandu<b21​<cos(x)andcos(x)<1
21​<cos(x):−3π​+2πn<x<3π​+2πn
21​<cos(x)
Tausche die Seitencos(x)>21​
Für cos(x)>a, wenn −1≤a<1 dann −arccos(a)+2πn<x<arccos(a)+2πn−arccos(21​)+2πn<x<arccos(21​)+2πn
Vereinfache −arccos(21​):−3π​
−arccos(21​)
Verwende die folgende triviale Identität:arccos(21​)=3π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=−3π​
Vereinfache arccos(21​):3π​
arccos(21​)
Verwende die folgende triviale Identität:arccos(21​)=3π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=3π​
−3π​+2πn<x<3π​+2πn
cos(x)<1:2πn<x<2π+2πn
cos(x)<1
Für cos(x)<a, wenn −1<a≤1 dann arccos(a)+2πn<x<2π−arccos(a)+2πnarccos(1)+2πn<x<2π−arccos(1)+2πn
Vereinfache arccos(1):0
arccos(1)
Verwende die folgende triviale Identität:arccos(1)=0x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=0
Vereinfache 2π−arccos(1):2π
2π−arccos(1)
Verwende die folgende triviale Identität:arccos(1)=0x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=2π−0
2π−0=2π=2π
0+2πn<x<2π+2πn
Vereinfache2πn<x<2π+2πn
Kombiniere die Bereiche−3π​+2πn<x<3π​+2πnand2πn<x<2π+2πn
Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen2πn<x<3π​+2πnor35π​+2πn<x<2π+2πn

Beliebte Beispiele

2cos(2x)>= 02cos(2x)≥0cos^2(x)>= cos(x)cos2(x)≥cos(x)tan(θ)>0,cos(θ)<0sin(θ)=-2/5 ,tan(θ)tan(θ)>0,cos(θ)<0sin(θ)=−52​,tan(θ)tan^2(x)>1tan2(x)>1sin(x)<tan(x)sin(x)<tan(x)
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