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2cos^2(x)-3cos(x)+1<0

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解答

2cos2(x)−3cos(x)+1<0

解答

2πn<x<3π​+2πnor35π​+2πn<x<2π+2πn
+2
间隔符号
(2πn,3π​+2πn)∪(35π​+2πn,2π+2πn)
十进制
2πn<x<1.04719…+2πnor5.23598…+2πn<x<6.28318…+2πn
求解步骤
2cos2(x)−3cos(x)+1<0
令:u=cos(x)2u2−3u+1<0
2u2−3u+1<0:21​<u<1
2u2−3u+1<0
分解 2u2−3u+1:(2u−1)(u−1)
2u2−3u+1
将表达式拆分成组
2u2−3u+1
定义
2的因数:1,2
2
约数 (因数)
找到 2 的质因数:2
2
2 是质数,因此无法因数分解=2
加 1 1
2的因数1,2
2的负因数:−1,−2
将因数乘以 −1 得到负因数−1,−2
对于每两个因数 u∗v=2,检验是否 u+v=−3
检验 u=1,v=2:u∗v=2,u+v=3⇒假检验 u=−1,v=−2:u∗v=2,u+v=−3⇒真
u=−1,v=−2
分组为 (ax2+ux)+(vx+c)(2u2−u)+(−2u+1)
=(2u2−u)+(−2u+1)
从 2u2−u 分解出因式 u:u(2u−1)
2u2−u
使用指数法则: ab+c=abacu2=uu=2uu−u
因式分解出通项 u=u(2u−1)
从 −2u+1 分解出因式 −1:−(2u−1)
−2u+1
因式分解出通项 −1=−(2u−1)
=u(2u−1)−(2u−1)
因式分解出通项 2u−1=(2u−1)(u−1)
(2u−1)(u−1)<0
确定区间
确定 (2u−1)(u−1) 符号
确定 2u−1符号
2u−1=0:u=21​
2u−1=0
将 1到右边
2u−1=0
两边加上 12u−1+1=0+1
化简2u=1
2u=1
两边除以 2
2u=1
两边除以 222u​=21​
化简u=21​
u=21​
2u−1<0:u<21​
2u−1<0
将 1到右边
2u−1<0
两边加上 12u−1+1<0+1
化简2u<1
2u<1
两边除以 2
2u<1
两边除以 222u​<21​
化简u<21​
u<21​
2u−1>0:u>21​
2u−1>0
将 1到右边
2u−1>0
两边加上 12u−1+1>0+1
化简2u>1
2u>1
两边除以 2
2u>1
两边除以 222u​>21​
化简u>21​
u>21​
确定 u−1符号
u−1=0:u=1
u−1=0
将 1到右边
u−1=0
两边加上 1u−1+1=0+1
化简u=1
u=1
u−1<0:u<1
u−1<0
将 1到右边
u−1<0
两边加上 1u−1+1<0+1
化简u<1
u<1
u−1>0:u>1
u−1>0
将 1到右边
u−1>0
两边加上 1u−1+1>0+1
化简u>1
u>1
总结如下表:2u−1u−1(2u−1)(u−1)​u<21​−−+​u=21​0−0​21​<u<1+−−​u=1+00​u>1+++​​
确定满足所需条件的区间:<021​<u<1
21​<u<1
21​<u<1
u=cos(x)代回21​<cos(x)<1
若 a<u<b,则 a<uandu<b21​<cos(x)andcos(x)<1
21​<cos(x):−3π​+2πn<x<3π​+2πn
21​<cos(x)
交换两边cos(x)>21​
对于 cos(x)>a,若 −1≤a<1,则 −arccos(a)+2πn<x<arccos(a)+2πn−arccos(21​)+2πn<x<arccos(21​)+2πn
化简 −arccos(21​):−3π​
−arccos(21​)
使用以下普通恒等式:arccos(21​)=3π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=−3π​
化简 arccos(21​):3π​
arccos(21​)
使用以下普通恒等式:arccos(21​)=3π​x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=3π​
−3π​+2πn<x<3π​+2πn
cos(x)<1:2πn<x<2π+2πn
cos(x)<1
对于 cos(x)<a,若 −1<a≤1,则 arccos(a)+2πn<x<2π−arccos(a)+2πnarccos(1)+2πn<x<2π−arccos(1)+2πn
化简 arccos(1):0
arccos(1)
使用以下普通恒等式:arccos(1)=0x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=0
化简 2π−arccos(1):2π
2π−arccos(1)
使用以下普通恒等式:arccos(1)=0x−1−23​​−22​​−21​021​22​​23​​1​arccos(x)π65π​43π​32π​2π​3π​4π​6π​0​arccos(x)180∘150∘135∘120∘90∘60∘45∘30∘0∘​​=2π−0
2π−0=2π=2π
0+2πn<x<2π+2πn
化简2πn<x<2π+2πn
合并区间−3π​+2πn<x<3π​+2πnand2πn<x<2π+2πn
合并重叠的区间2πn<x<3π​+2πnor35π​+2πn<x<2π+2πn

流行的例子

2cos(2x)>= 02cos(2x)≥0cos^2(x)>= cos(x)cos2(x)≥cos(x)tan(θ)>0,cos(θ)<0sin(θ)=-2/5 ,tan(θ)tan(θ)>0,cos(θ)<0sin(θ)=−52​,tan(θ)tan^2(x)>1tan2(x)>1sin(x)<tan(x)sin(x)<tan(x)
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