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Popolare Trigonometria >

2cos^2(x)-3cos(x)+1<0

Soluzione

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1 < 0

Soluzione

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{3} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimale

2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn or 5.23598 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1 < 0

Sia:

u = cos (x)

2 u^{2} - 3 u + 1 < 0

2 u^{2} - 3 u + 1 < 0 : \frac{1}{2} < u < 1

2 u^{2} - 3 u + 1 < 0

Fattorizza

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

Suddividere l'espressione in gruppi

2 u^{2} - 3 u + 1

Definizione

Fattori di

2 : 1, 2

2

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Aggiungi 1

1

I fattori di

2

1, 2

Fattori negativi di

2 : - 1, - 2

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2

Per ogni due fattori tali che

u * v = 2,

controllare se

u + v = - 3

Verifica

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

Vero

u = - 1, v = - 2

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

Fattorizza

u

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u - 1)

Fattorizza

- 1

- 2 u + 1 : - (2 u - 1)

- 2 u + 1

Fattorizzare dal termine comune

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

(2 u - 1) (u - 1) < 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u - 1) (u - 1)

Trova i segni di

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 u = 1

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

2 u < 1

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Semplificare

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

2 u > 1

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Semplificare

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Riassumere in una tabella:

2 u - 1 u - 1 (2 u - 1) (u - 1) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

< 0

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} < u < 1

Sostituire indietro

u = cos (x)

\frac{1}{2} < cos (x) < 1

a < u < b

allora

a < u and u < b

\frac{1}{2} < cos (x) and cos (x) < 1

\frac{1}{2} < cos (x) : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

\frac{1}{2} < cos (x)

Scambia i lati

cos (x) > \frac{1}{2}

Per

cos (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

Semplificare

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) < 1 : 2 πn < x < 2 π + 2 πn

cos (x) < 1

Per

cos (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (1) + 2 πn < x < 2 π - arccos (1) + 2 πn

Semplificare

arccos (1) : 0

arccos (1)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

Semplificare

2 π - arccos (1) : 2 π

2 π - arccos (1)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - 0

2 π - 0 = 2 π

= 2 π

0 + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Semplificare

2 πn < x < 2 π + 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn and 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Esempi popolari

2cos(2x)>= 0

cos^2(x)>= cos(x)

tan(θ)>0,cos(θ)<0sin(θ)=-2/5 ,tan(θ)

tan^2(x)>1

sin(x)<tan(x)