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受欢迎的三角函数 >

2cos^2(x)-3cos(x)+1<0

解答

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1 < 0

解答

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

+2

间隔符号

(2 πn, \frac{π}{3} + 2 πn) \cup (\frac{5 π}{3} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

十进制

2 πn < x < 1.04719 \dots + 2 πn or 5.23598 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

求解步骤

2 cos^{2} (x) - 3 cos (x) + 1 < 0

令

: u = cos (x)

2 u^{2} - 3 u + 1 < 0

2 u^{2} - 3 u + 1 < 0 : \frac{1}{2} < u < 1

2 u^{2} - 3 u + 1 < 0

分解

2 u^{2} - 3 u + 1 : (2 u - 1) (u - 1)

2 u^{2} - 3 u + 1

将表达式拆分成组

2 u^{2} - 3 u + 1

定义

2

的因数:

1, 2

2

约数 (因数)

找到

2

的质因数:

2

2

2

是质数，因此无法因数分解

= 2

加 1

1

2

的因数

1, 2

2

的负因数:

- 1, - 2

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2

对于每两个因数

u * v = 2

，检验是否

u + v = - 3

检验

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

假检验

u = - 1, v = - 2 : u * v = 2, u + v = - 3 \Rightarrow

真

u = - 1, v = - 2

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

= (2 u^{2} - u) + (- 2 u + 1)

从

2 u^{2} - u

分解出因式

u

:

u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

因式分解出通项

u

= u (2 u - 1)

从

- 2 u + 1

分解出因式

- 1

:

- (2 u - 1)

- 2 u + 1

因式分解出通项

- 1

= - (2 u - 1)

= u (2 u - 1) - (2 u - 1)

因式分解出通项

2 u - 1

= (2 u - 1) (u - 1)

(2 u - 1) (u - 1) < 0

确定区间

确定

(2 u - 1) (u - 1)

符号

确定

2 u - 1

符号

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

将

1

到右边

2 u - 1 = 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

2 u = 1

2 u = 1

两边除以

2

2 u = 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

化简

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

将

1

到右边

2 u - 1 < 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

2 u < 1

2 u < 1

两边除以

2

2 u < 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

化简

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

将

1

到右边

2 u - 1 > 0

两边加上

1

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

2 u > 1

2 u > 1

两边除以

2

2 u > 1

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

化简

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

确定

u - 1

符号

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

将

1

到右边

u - 1 = 0

两边加上

1

u - 1 + 1 = 0 + 1

化简

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

将

1

到右边

u - 1 < 0

两边加上

1

u - 1 + 1 < 0 + 1

化简

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

将

1

到右边

u - 1 > 0

两边加上

1

u - 1 + 1 > 0 + 1

化简

u > 1

u > 1

总结如下表：

2 u - 1 u - 1 (2 u - 1) (u - 1) u < \frac{1}{2} - - + u = \frac{1}{2} 0 - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

确定满足所需条件的区间：

< 0

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} < u < 1

\frac{1}{2} < u < 1

u = cos (x)

代回

\frac{1}{2} < cos (x) < 1

若

a < u < b

，则

a < u and u < b

\frac{1}{2} < cos (x) and cos (x) < 1

\frac{1}{2} < cos (x) : - \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

\frac{1}{2} < cos (x)

交换两边

cos (x) > \frac{1}{2}

对于

cos (x) > a

，若

- 1 \leq a < 1

，则

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < arccos (\frac{1}{2}) + 2 πn

化简

- arccos (\frac{1}{2}) : - \frac{π}{3}

- arccos (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{3}

化简

arccos (\frac{1}{2}) : \frac{π}{3}

arccos (\frac{1}{2})

使用以下普通恒等式:

arccos (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{3}

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn

cos (x) < 1 : 2 πn < x < 2 π + 2 πn

cos (x) < 1

对于

cos (x) < a

，若

- 1 < a \leq 1

，则

arccos (a) + 2 πn < x < 2 π - arccos (a) + 2 πn

arccos (1) + 2 πn < x < 2 π - arccos (1) + 2 πn

化简

arccos (1) : 0

arccos (1)

使用以下普通恒等式:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 0

化简

2 π - arccos (1) : 2 π

2 π - arccos (1)

使用以下普通恒等式:

arccos (1) = 0

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= 2 π - 0

2 π - 0 = 2 π

= 2 π

0 + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

化简

2 πn < x < 2 π + 2 πn

合并区间

- \frac{π}{3} + 2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn and 2 πn < x < 2 π + 2 πn

合并重叠的区间

2 πn < x < \frac{π}{3} + 2 πn or \frac{5 π}{3} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

流行的例子

2 cos (2 x) \geq 0

cos^2(x)>= cos(x)

cos^{2} (x) \geq cos (x)

tan(θ)>0,cos(θ)<0sin(θ)=-2/5 ,tan(θ)

tan (θ) > 0, cos (θ) < 0 sin (θ) = - \frac{2}{5}, tan (θ)

tan^{2} (x) > 1

sin (x) < tan (x)