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Popolare Trigonometria >

sin(x)<tan(x)

Soluzione

sin (x) < tan (x)

Soluzione

2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Decimale

2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

sin (x) < tan (x)

Spostare

tan (x)

a sinistra dell'equazione

sin (x) < tan (x)

Sottrarre

tan (x)

da entrambi i lati

sin (x) - tan (x) < tan (x) - tan (x)

sin (x) - tan (x) < 0

sin (x) - tan (x) < 0

Periodicità di

sin (x) - tan (x) : 2 π

La periodicità composta della somma di funzioni periodiche è il minimo comune multiplo dei periodi

sin (x), tan (x)

Periodicità di

sin (x) : 2 π

Periodicità di

sin (x)

2 π

= 2 π

Periodicità di

tan (x) : π

Periodicità di

tan (x)

π

= π

Combine periodi:

2 π, π

= 2 π

Esprimere con sen e cos

sin (x) - tan (x) < 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} < 0

sin (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} < 0

Semplificare

sin (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Converti l'elemento in frazione:

sin (x) = \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} < 0

Trova gli zeri e i punti non definiti della

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

per

0 \leq x < 2 π

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) cos (x) - sin (x) = 0

Fattorizza

sin (x) cos (x) - sin (x) : sin (x) (cos (x) - 1)

sin (x) cos (x) - sin (x)

Fattorizzare dal termine comune

sin (x)

= sin (x) (cos (x) - 1)

sin (x) (cos (x) - 1) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

sin (x) = 0 or cos (x) - 1 = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Soluzioni generali per

sin (x) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0

cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Spostare

1

a destra dell'equazione

cos (x) - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

cos (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

cos (x) = 1

cos (x) = 1

Soluzioni generali per

cos (x) = 1

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < 2 π

x = 0

Combinare tutte le soluzioni

x = 0, x = π

Trova i punti non definiti:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Trova le radici del denominatore

cos (x) = 0

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}

Identifica gli intervalli

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π, π < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Riassumere in una tabella:

sin (x) cos (x) - sin (x) cos (x) \frac{s i n ( x ) c o s ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )} x = 0 0 + 0 0 < x < \frac{π}{2} - + - x = \frac{π}{2} - 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{π}{2} < x < π - - + x = π 0 - 0 π < x < \frac{3 π}{2} + - - x = \frac{3 π}{2} + 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{3 π}{2} < x < 2 π + + + x = 2 π 0 + 0

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

< 0

0 < x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2}

Applicare la periodicità di

sin (x) - tan (x)

2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Esempi popolari

2/pi-arctan(x)<0.001

cot(x)>= 0

(0.75*sin((2pi*x)/3))+1.25<1.8

cot(x)>= 1

-(-1-cos(t))<0