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Beliebt Trigonometrie >

sin(x)<tan(x)

Lösung

sin (x) < tan (x)

Lösung

2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

(2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Dezimale

2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 3.14159 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

sin (x) < tan (x)

Verschiebe

tan (x)

auf die linke Seite

sin (x) < tan (x)

Subtrahiere

tan (x)

von beiden Seiten

sin (x) - tan (x) < tan (x) - tan (x)

sin (x) - tan (x) < 0

sin (x) - tan (x) < 0

Periodizität von

sin (x) - tan (x) : 2 π

Die zusammengesetzte Periodizität der Summe der periodischen Funktionen ist der kleinste gemeinsame Multiplikator der Perioden

sin (x), tan (x)

Periodizität von

sin (x) : 2 π

Die Periodizität von

sin (x)

ist

2 π

= 2 π

Periodizität von

tan (x) : π

Die Periodizität von

tan (x)

ist

π

= π

Kombiniere Perioden:

2 π, π

= 2 π

Drücke mit sin, cos aus

sin (x) - tan (x) < 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} < 0

sin (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} < 0

Vereinfache

sin (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

sin (x) - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

sin (x) = \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) cos ( x )}{cos ( x )} - \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} < 0

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )}

für

0 \leq x < 2 π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

\frac{sin ( x ) cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x )} = 0, 0 \leq x < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) cos (x) - sin (x) = 0

Faktorisiere

sin (x) cos (x) - sin (x) : sin (x) (cos (x) - 1)

sin (x) cos (x) - sin (x)

Klammere gleiche Terme aus

sin (x)

= sin (x) (cos (x) - 1)

sin (x) (cos (x) - 1) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (x) = 0 or cos (x) - 1 = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0, x = π

sin (x) = 0, 0 \leq x < 2 π

Allgemeine Lösung für

sin (x) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = 0, x = π

cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π : x = 0

cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < 2 π

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

cos (x) - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

cos (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

cos (x) = 1

cos (x) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = 0 + 2 πn

x = 0 + 2 πn

Löse

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = 0

Kombiniere alle Lösungen

x = 0, x = π

Finde die unbestimmten Punkte:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

Finde die Nullstellen des Nenners

cos (x) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (x) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < 2 π

x = \frac{π}{2}, x = \frac{3 π}{2}

0, \frac{π}{2}, π, \frac{3 π}{2}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π, π < x < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < x < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

sin (x) cos (x) - sin (x) cos (x) \frac{s i n ( x ) c o s ( x ) - s i n ( x )}{c o s ( x )} x = 0 0 + 0 0 < x < \frac{π}{2} - + - x = \frac{π}{2} - 0 Unbestimmt \frac{π}{2} < x < π - - + x = π 0 - 0 π < x < \frac{3 π}{2} + - - x = \frac{3 π}{2} + 0 Unbestimmt \frac{3 π}{2} < x < 2 π + + + x = 2 π 0 + 0

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

0 < x < \frac{π}{2} or π < x < \frac{3 π}{2}

Verwende die Periodizität von

sin (x) - tan (x)

2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

2/pi-arctan(x)<0.001

\frac{2}{π} - arctan (x) < 0.001

cot(x)>= 0

cot (x) \geq 0

(0.75*sin((2pi*x)/3))+1.25<1.8

(0.75 \cdot sin (\frac{2 π \cdot x}{3})) + 1.25 < 1.8

cot(x)>= 1

cot (x) \geq 1

-(-1-cos(t))<0

- (- 1 - cos (t)) < 0