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Popolare Trigonometria >

sin(3x)cos(3x)-1/4 >0

Soluzione

sin (3 x) cos (3 x) - \frac{1}{4} > 0

Soluzione

\frac{π}{36} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Notazione dell’intervallo

(\frac{π}{36} + \frac{π}{3} n, \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n)

Decimale

0.08726 \dots + \frac{π}{3} n < x < 0.43633 \dots + \frac{π}{3} n

Fasi della soluzione

sin (3 x) cos (3 x) - \frac{1}{4} > 0

Usare l'identità seguente:

2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)

Quindi

cos (x) sin (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

- \frac{1}{4} + \frac{sin ( 2 \cdot 3 x )}{2} > 0

Semplifica

- \frac{1}{4} + \frac{sin ( 2 \cdot 3 x )}{2} : - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x)

- \frac{1}{4} + \frac{sin ( 2 \cdot 3 x )}{2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 3 = 6

= - \frac{1}{4} + \frac{sin ( 6 x )}{2}

= - \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x)

- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x) > 0

Spostare

\frac{1}{4}

a destra dell'equazione

- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x) > 0

Aggiungi

\frac{1}{4}

ad entrambi i lati

- \frac{1}{4} + \frac{1}{2} sin (6 x) + \frac{1}{4} > 0 + \frac{1}{4}

Semplificare

\frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1}{4}

\frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1}{4}

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1}{4}

Moltiplica entrambi i lati per

2

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1 \cdot 2}{4}

Semplificare

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x) > \frac{1 \cdot 2}{4}

Semplificare

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x) : sin (6 x)

2 \cdot \frac{1}{2} sin (6 x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2} sin (6 x)

Cancella il fattore comune:

2

= sin (6 x) \cdot 1

Moltiplicare:

sin (6 x) \cdot 1 = sin (6 x)

= sin (6 x)

Semplificare

\frac{1 \cdot 2}{4} : \frac{1}{2}

\frac{1 \cdot 2}{4}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{1}{2}

sin (6 x) > \frac{1}{2}

sin (6 x) > \frac{1}{2}

sin (6 x) > \frac{1}{2}

Per

sin (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < 6 x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

a < u < b

allora

a < u and u < b

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < 6 x and 6 x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < 6 x : x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < 6 x

Scambia i lati

6 x > arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6} + 2 πn

6 x > \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

6

6 x > \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

6

\frac{6 x}{6} > \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Semplificare

\frac{6 x}{6} > \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Semplificare

\frac{6 x}{6} : x

\frac{6 x}{6}

Dividi i numeri:

\frac{6}{6} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6} : \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

\frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

\frac{\frac{π}{6}}{6} = \frac{π}{36}

\frac{\frac{π}{6}}{6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 6}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 6 = 36

= \frac{π}{36}

\frac{2 πn}{6} = \frac{πn}{3}

\frac{2 πn}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{πn}{3}

= \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

6 x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

6 x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : π - \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6} + 2 πn

6 x < π - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

6

6 x < π - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

6

\frac{6 x}{6} < \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Semplificare

\frac{6 x}{6} < \frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

Semplificare

\frac{6 x}{6} : x

\frac{6 x}{6}

Dividi i numeri:

\frac{6}{6} = 1

= x

Semplificare

\frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6} : \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

\frac{π}{6} - \frac{\frac{π}{6}}{6} + \frac{2 πn}{6}

\frac{\frac{π}{6}}{6} = \frac{π}{36}

\frac{\frac{π}{6}}{6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 6}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 6 = 36

= \frac{π}{36}

\frac{2 πn}{6} = \frac{πn}{3}

\frac{2 πn}{6}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{πn}{3}

= \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x < \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

x < \frac{π}{6} - \frac{π}{36} + \frac{πn}{3}

Semplificare

\frac{π}{6} - \frac{π}{36} : \frac{5 π}{36}

\frac{π}{6} - \frac{π}{36}

Minimo Comune Multiplo di

6, 36 : 36

6, 36

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

6 : 2 \cdot 3

6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 3

Fattorizzazione prima di

36 : 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

36

36

diviso per

236 = 18 \cdot 2

= 2 \cdot 18

18

diviso per

218 = 9 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 9

9

diviso per

39 = 3 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 6 o 36

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36

= 36

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

36

Per

\frac{π}{6} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

6

\frac{π}{6} = \frac{π 6}{6 \cdot 6} = \frac{π 6}{36}

= \frac{π 6}{36} - \frac{π}{36}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{36}

Aggiungi elementi simili:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{36}

x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Combina gli intervalli

x > \frac{π}{36} + \frac{πn}{3} and x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{36} + \frac{π}{3} n < x < \frac{5 π}{36} + \frac{π}{3} n

Esempi popolari

cos(-θ)<0

1+cos(x)>0

cos(2x)<-(sqrt(2))/2 ,0<= x<= 2pi

cos^2(x)-sin^2(x)-cos(x)<= 0

sin(x/6)>=-(sqrt(2))/2