English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

פּוֹפּוּלָרִי טריגונומטריה >

4sin^2(x)+3tan(x)>sec^2(x)

פתרון

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

פתרון

\frac{π}{12} + πn < x < \frac{5 π}{12} + πn

סימון מרווחים

(\frac{π}{12} + πn, \frac{5 π}{12} + πn)

עשרוני

0.26179 \dots + πn < x < 1.30899 \dots + πn

צעדי פתרון

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

לצד שמאל

sec^{2} (x)

העבר

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

משני האגפים

sec^{2} (x)

החסר

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > sec^{2} (x) - sec^{2} (x)

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

:השתמש בזהות הבאה

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

לכן

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x)

מחזוריות של:

π

The compound periodicity of the sum of periodic functions is the least common multiplier of the periods

4 (1 - cos^{2} (x)), 3 tan (x), sec^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x))

מחזוריות של:

π

זוגי

n

חלקי שניים, אם

cos (x)

היא המחזוריות של

cos^{n} (x)

המחזוריות של

cos (x)

מחזוריות של:

2 π

2 π

היא

cos (x)

המחזוריות של

= 2 π

\frac{2 π}{2}

פשט

π

3 tan (x)

מחזוריות של:

π

a tan (b x \pm c) \pm d = \frac{tan מחזוריות של}{∣ b ∣}

המחזוריות של

π

היא

tan (x)

המחזוריות של

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

פשט

= π

sec^{2} (x)

מחזוריות של:

π

זוגי

n

חלקי שניים, אם

sec (x)

היא המחזוריות של

sec^{n} (x)

המחזוריות של

sec (x)

מחזוריות של:

2 π

2 π

היא

sec (x)

המחזוריות של

= 2 π

\frac{2 π}{2}

פשט

π

Combine periods:

π, π, π

= π

sin, cos :

בטא באמצאות

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - sec^{2} (x) > 0

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

:Use the basic trigonometric identity

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} > 0

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} > 0

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

פשט את:

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

:הפעל את חוק החזקות

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

1^{a} = 1

הפעל את החוק

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= 4 (- cos^{2} (x) + 1) + \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

4 (- cos^{2} (x) + 1) = \frac{4 ( - cos ^{2} ( x ) + 1 )}{1}

:המר את המספרים לשברים

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} + \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

1, cos (x), cos^{2} (x)

הכפולה המשותפת המינימלית של:

cos^{2} (x)

1, cos (x), cos^{2} (x)

Lowest Common Multiplier (LCM)

Compute an expression comprised of factors that appear in at least one of the factored expressions

= cos^{2} (x)

כתוב מחדש את השברים כך שהמכנה יהיה משותף

cos^{2} (x)

הכפל כל מונה ומכנה בביטוי שיביא לכך שהמכנה יהיה משותף

cos^{2} (x)

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1}

עבור

\frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} = \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot cos ^{2} ( x )} = \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

cos (x)

הכפל את המכנה והמונה ב

: \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

עבור

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

:מאחר והמכנים שווים, חבר את המונים

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) \cdot 3 cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} > 0

Find the zeroes and undifined points of

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

for

0 \leq x < π

To find the zeroes, set the inequality to zero

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos^{2} (x) (1 - cos^{2} (x)) + 3 sin (x) cos (x) - 1 = 0

Rewrite using trig identities

- 1 + (1 - cos^{2} (x)) \cdot 4 cos^{2} (x) + 3 cos (x) sin (x)

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

:הפעל זהות פיטגורית

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x)

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x) = 0

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x)

פרק לגורמים את:

(4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1)

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x)

חלק הביטוי לקבוצות

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) + 3 sin (x) cos (x) - 1

הגדרה

Factors of

4 : 1, 2, 4

4

Divisors (Factors)

Find the Prime factors of

4 : 2, 2

4

4 = 2 \cdot 2, 2

מתחלק ב

4

= 2 \cdot 2

הוא מספר ראשוני לכן פירוק נוסף לגורמים אינו אפשרי

2

= 2 \cdot 2

Add the prime factors:

2

Add 1 and the number

4

itself

1, 4

4

המחלקים של

1, 2, 4

Negative factors of

4 : - 1, - 2, - 4

Multiply the factors by

- 1

to get the negative factors

- 1, - 2, - 4

For every two factors such that

u * v = - 4,

check if

u + v = 3

Check

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

לא נכוןCheck

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

לא נכון

u = 4, v = - 1

Group into

(a x^{2} y^{2} + ux y) + (vx y + c)

(4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

= (4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1)

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)

sin (x) cos (x)

הוצא את הגורם

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

:הפעל את חוק החזקות

sin^{2} (x) cos^{2} (x) = sin (x) sin (x) cos (x) cos (x)

= 4 sin (x) sin (x) cos (x) cos (x) - sin (x) cos (x)

sin (x) cos (x)

הוצא את הגורם המשותף

= sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1)

= sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

4 sin (x) cos (x) - 1

הוצא את הגורם המשותף

= (4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1)

(4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1) = 0

פתור כל חלק בנפרד

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0 or sin (x) cos (x) + 1 = 0

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π

Rewrite using trig identities

4 sin (x) cos (x) - 1

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

:הפעל זהות של זווית כפולה

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

- 1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 2 sin (2 x)

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

:הכפל שברים

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 4}{2}

\frac{4}{2} = 2 :

חלק את המספרים

= 2 sin (2 x)

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

לצד ימין

1

העבר

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

לשני האגפים

1

הוסף

- 1 + 2 sin (2 x) + 1 = 0 + 1

פשט

2 sin (2 x) = 1

2 sin (2 x) = 1

2

חלק את שני האגפים ב

2 sin (2 x) = 1

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = \frac{1}{2}

פשט

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (2 x) = \frac{1}{2} :

פתרונות כלליים עבור

sin (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

פתור את:

x = \frac{π}{12} + πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 x}{2}

פשט את:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= x

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט את:

\frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{π}{6 \cdot 2}

6 \cdot 2 = 12 :

הכפל את המספרים

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

פתור את:

x = \frac{5 π}{12} + πn

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2

חלק את שני האגפים ב

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{2 x}{2}

פשט את:

x

\frac{2 x}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= x

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

פשט את:

\frac{5 π}{12} + πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

: השתמש בתכונת השברים הבאה

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

6 \cdot 2 = 12 :

הכפל את המספרים

= \frac{5 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

\frac{2}{2} = 1 :

חלק את המספרים

= πn

= \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

0 \leq x < π :

פתרונות עבור הטווח

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

sin (x) cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π :

אין פתרון

sin (x) cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π

Rewrite using trig identities

sin (x) cos (x) + 1

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

:הפעל זהות של זווית כפולה

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 + \frac{sin ( 2 x )}{2}

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

לצד ימין

1

העבר

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

משני האגפים

1

החסר

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} - 1 = 0 - 1

פשט

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

2

הכפל את שני האגפים ב

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

2

הכפל את שני האגפים ב

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = 2 (- 1)

פשט

sin (2 x) = - 2

sin (2 x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

אין פתרון

אחד את הפתרונות

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

Find the undefined points:

x = \frac{π}{2}

Find the zeros of the denominator

cos^{2} (x) = 0

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

הפעל את החוק

cos (x) = 0

cos (x) = 0 :

פתרונות כלליים עבור

cos (x)

periodicity table with

2 πn

cycle:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

0 \leq x < π :

פתרונות עבור הטווח

x = \frac{π}{2}

\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{π}{2}

זהה את הטווחים השונים

0 < x < \frac{π}{12}, \frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π

סכם בטבלה

4 cos^{2} (x) (1 - cos^{2} (x)) + 3 sin (x) cos (x) - 1 cos^{2} (x) \frac{4 c o s ^{2} ( x ) ( 1 - c o s ^{2} ( x ) ) + 3 s i n ( x ) c o s ( x ) - 1}{c o s ^{2} ( x )} x = 0 - + - 0 < x < \frac{π}{12} - + - x = \frac{π}{12} 0 + 0 \frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12} + + + x = \frac{5 π}{12} 0 + 0 \frac{5 π}{12} < x < \frac{π}{2} - + - x = \frac{π}{2} - 0 לא מוגדר \frac{π}{2} < x < π - + - x = π - + -

> 0 :

בחירת הטווחים המקיימים את התנאי

\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) :

השתמש במזוריות של

\frac{π}{12} + πn < x < \frac{5 π}{12} + πn

דוגמאות פופולריות

sin(4x+17)>0

sin (4 x + 1 7^{\circ}) > 0

3sin((pix)/(12)-pi/2)<=-2

3 sin (\frac{π x}{12} - \frac{π}{2}) \leq - 2

-sin(x)(2+sin(x))-cos^2(x)>0

- sin (x) (2 + sin (x)) - cos^{2} (x) > 0

1/(sqrt(3))<tan(x)

\frac{1}{3} < tan (x)

6cos(θ)>= 0

6 cos (θ) \geq 0