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Popolare Trigonometria >

4sin^2(x)+3tan(x)>sec^2(x)

Soluzione

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

Soluzione

\frac{π}{12} + πn < x < \frac{5 π}{12} + πn

Notazione dell’intervallo

(\frac{π}{12} + πn, \frac{5 π}{12} + πn)

Decimale

0.26179 \dots + πn < x < 1.30899 \dots + πn

Fasi della soluzione

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

Spostare

sec^{2} (x)

a sinistra dell'equazione

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) > sec^{2} (x)

Sottrarre

sec^{2} (x)

da entrambi i lati

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > sec^{2} (x) - sec^{2} (x)

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

4 sin^{2} (x) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

Usare l'identità seguente:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Quindi

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

Periodicità di

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) : π

La periodicità composta della somma di funzioni periodiche è il minimo comune multiplo dei periodi

4 (1 - cos^{2} (x)), 3 tan (x), sec^{2} (x)

Periodicità di

4 (1 - cos^{2} (x)) : π

Periodicità di

cos^{n} (x) = \frac{Periodicit a ˋ di cos ( x )}{2},

se n è pari

Periodicità di

cos (x) : 2 π

Periodicità di

cos (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Semplificare

π

Periodicità di

3 tan (x) : π

Periodicità di

a \cdot tan (b x + c) + d = \frac{periodicit a ˋ di tan ( x )}{∣ b ∣}

Periodicità di

tan (x)

π

= \frac{π}{∣ 1 ∣}

Semplificare

= π

Periodicità di

sec^{2} (x) : π

Periodicità di

sec^{n} (x) = \frac{Periodicit a ˋ di sec ( x )}{2},

se n è pari

Periodicità di

sec (x) : 2 π

Periodicità di

sec (x)

2 π

= 2 π

\frac{2 π}{2}

Semplificare

π

Combine periodi:

π, π, π

= π

Esprimere con sen e cos

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x) > 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - sec^{2} (x) > 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} > 0

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} > 0

Semplificare

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )}

3 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Applicare la regola

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= 4 (- cos^{2} (x) + 1) + \frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Converti l'elemento in frazione:

4 (- cos^{2} (x) + 1) = \frac{4 ( - cos ^{2} ( x ) + 1 )}{1}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} + \frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Minimo Comune Multiplo di

1, cos (x), cos^{2} (x) : cos^{2} (x)

1, cos (x), cos^{2} (x)

Minimo comune multiplo (mcm)

Calcola un espressione composta da fattori che appaiono almeno in una delle espressioni scomposte

= cos^{2} (x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

cos^{2} (x)

Per

\frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos^{2} (x)

\frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) )}{1} = \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{1 \cdot cos ^{2} ( x )} = \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Per

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x)

\frac{sin ( x ) \cdot 3}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ( x ) cos ( x )} = \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ( x ) \cdot 3 cos ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) cos ^{2} ( x ) + sin ( x ) \cdot 3 cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} > 0

Trova gli zeri e i punti non definiti della

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )}

per

0 \leq x < π

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

\frac{4 cos ^{2} ( x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) + 3 sin ( x ) cos ( x ) - 1}{cos ^{2} ( x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 cos^{2} (x) (1 - cos^{2} (x)) + 3 sin (x) cos (x) - 1 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 1 + (1 - cos^{2} (x)) \cdot 4 cos^{2} (x) + 3 cos (x) sin (x)

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= - 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x)

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x) = 0

Fattorizza

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x) : (4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1)

- 1 + 3 cos (x) sin (x) + 4 cos^{2} (x) sin^{2} (x)

Suddividere l'espressione in gruppi

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) + 3 sin (x) cos (x) - 1

Definizione

Fattori di

4 : 1, 2, 4

4

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

4 : 2, 2

4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2

2

è un numero primo, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2

Aggiungi i fattori primi:

2

Aggiungi 1 al numero

4

stesso

1, 4

I fattori di

4

1, 2, 4

Fattori negativi di

4 : - 1, - 2, - 4

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 4

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 4,

controllare se

u + v = 3

Verifica

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

FalsoVerifica

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Falso

u = 4, v = - 1

Raggruppa in

(a x^{2} y^{2} + ux y) + (vx y + c)

(4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

= (4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

Fattorizza

sin (x) cos (x)

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x) : sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1)

4 sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin (x) cos (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (x) cos^{2} (x) = sin (x) sin (x) cos (x) cos (x)

= 4 sin (x) sin (x) cos (x) cos (x) - sin (x) cos (x)

Fattorizzare dal termine comune

sin (x) cos (x)

= sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1)

= sin (x) cos (x) (4 sin (x) cos (x) - 1) + (4 sin (x) cos (x) - 1)

Fattorizzare dal termine comune

4 sin (x) cos (x) - 1

= (4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1)

(4 sin (x) cos (x) - 1) (sin (x) cos (x) + 1) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0 or sin (x) cos (x) + 1 = 0

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

4 sin (x) cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x < π

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

4 sin (x) cos (x) - 1

Usare l'Identità Doppio Angolo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= - 1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

- 1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 2 sin (2 x)

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 4}{2}

Dividi i numeri:

\frac{4}{2} = 2

= 2 sin (2 x)

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

- 1 + 2 sin (2 x) = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

- 1 + 2 sin (2 x) + 1 = 0 + 1

Semplificare

2 sin (2 x) = 1

2 sin (2 x) = 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (2 x) = 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = \frac{1}{2}

Semplificare

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (2 x) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (2 x) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn, 2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Risolvi

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn : x = \frac{π}{12} + πn

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn

Risolvi

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn : x = \frac{5 π}{12} + πn

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{12} + πn

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2} = \frac{5 π}{12}

\frac{\frac{5 π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{5 π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{5 π}{12} + πn

x = \frac{π}{12} + πn, x = \frac{5 π}{12} + πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

sin (x) cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π :

Nessuna soluzione

sin (x) cos (x) + 1 = 0, 0 \leq x < π

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (x) cos (x) + 1

Usare l'Identità Doppio Angolo:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 + \frac{sin ( 2 x )}{2}

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + \frac{sin ( 2 x )}{2} - 1 = 0 - 1

Semplificare

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{sin ( 2 x )}{2} = - 1

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} = 2 (- 1)

Semplificare

sin (2 x) = - 2

sin (2 x) = - 2

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Nessuna soluzione

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{12}, x = \frac{5 π}{12}

Trova i punti non definiti:

x = \frac{π}{2}

Trova le radici del denominatore

cos^{2} (x) = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

cos (x) = 0

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

\frac{π}{12}, \frac{5 π}{12}, \frac{π}{2}

Identifica gli intervalli

0 < x < \frac{π}{12}, \frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}, \frac{5 π}{12} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π

Riassumere in una tabella:

4 cos^{2} (x) (1 - cos^{2} (x)) + 3 sin (x) cos (x) - 1 cos^{2} (x) \frac{4 c o s ^{2} ( x ) ( 1 - c o s ^{2} ( x ) ) + 3 s i n ( x ) c o s ( x ) - 1}{c o s ^{2} ( x )} x = 0 - + - 0 < x < \frac{π}{12} - + - x = \frac{π}{12} 0 + 0 \frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12} + + + x = \frac{5 π}{12} 0 + 0 \frac{5 π}{12} < x < \frac{π}{2} - + - x = \frac{π}{2} - 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{π}{2} < x < π - + - x = π - + -

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}

Applicare la periodicità di

4 (1 - cos^{2} (x)) + 3 tan (x) - sec^{2} (x)

\frac{π}{12} + πn < x < \frac{5 π}{12} + πn

Esempi popolari

sin(4x+17)>0

3sin((pix)/(12)-pi/2)<=-2

-sin(x)(2+sin(x))-cos^2(x)>0

1/(sqrt(3))<tan(x)

6cos(θ)>= 0