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Popolare Trigonometria >

2sin^2(x)-5sin(x)-3>= 0,xe[0,2pi]

Soluzione

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0, x e [0, 2 π]

Soluzione

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

[- \frac{5 π}{6} + 2 πn, - \frac{π}{6} + 2 πn]

Decimale

- 2.61799 \dots + 2 πn \leq x \leq - 0.52359 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

2 sin^{2} (x) - 5 sin (x) - 3 \geq 0

Sia:

u = sin (x)

2 u^{2} - 5 u - 3 \geq 0

2 u^{2} - 5 u - 3 \geq 0 : u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

2 u^{2} - 5 u - 3 \geq 0

Fattorizza

2 u^{2} - 5 u - 3 : (2 u + 1) (u - 3)

2 u^{2} - 5 u - 3

Suddividere l'espressione in gruppi

2 u^{2} - 5 u - 3

Definizione

Fattori di

6 : 1, 2, 3, 6

6

Divisori (Fattori)

Trova i fattori primi di

6 : 2, 3

6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 3

Aggiungi i fattori primi:

2, 3

Aggiungi 1 al numero

6

stesso

1, 6

I fattori di

6

1, 2, 3, 6

Fattori negativi di

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Moltiplica i fattori per

- 1

per ottenere i fattori negativi

- 1, - 2, - 3, - 6

Per ogni due fattori tali che

u * v = - 6,

controllare se

u + v = - 5

Verifica

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

VeroVerifica

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Falso

u = 1, v = - 6

Raggruppa in

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (- 6 u - 3)

= (2 u^{2} + u) + (- 6 u - 3)

Fattorizza

u

2 u^{2} + u : u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Fattorizzare dal termine comune

u

= u (2 u + 1)

Fattorizza

- 3

- 6 u - 3 : - 3 (2 u + 1)

- 6 u - 3

Riscrivi

6

come

3 \cdot 2

= - 3 \cdot 2 u - 3

Fattorizzare dal termine comune

- 3

= - 3 (2 u + 1)

= u (2 u + 1) - 3 (2 u + 1)

Fattorizzare dal termine comune

2 u + 1

= (2 u + 1) (u - 3)

(2 u + 1) (u - 3) \geq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

(2 u + 1) (u - 3)

Trova i segni di

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 u = - 1

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

2 u < - 1

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u < - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Semplificare

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

2 u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

2 u > - 1

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 u > - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Semplificare

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Trova i segni di

u - 3

u - 3 = 0 : u = 3

u - 3 = 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

u - 3 = 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

u - 3 + 3 = 0 + 3

Semplificare

u = 3

u = 3

u - 3 < 0 : u < 3

u - 3 < 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

u - 3 < 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

u - 3 + 3 < 0 + 3

Semplificare

u < 3

u < 3

u - 3 > 0 : u > 3

u - 3 > 0

Spostare

3

a destra dell'equazione

u - 3 > 0

Aggiungi

3

ad entrambi i lati

u - 3 + 3 > 0 + 3

Semplificare

u > 3

u > 3

Riassumere in una tabella:

2 u + 1 u - 3 (2 u + 1) (u - 3) u < - \frac{1}{2} - - + u = - \frac{1}{2} 0 - 0 - \frac{1}{2} < u < 3 + - - u = 3 + 00 u > 3 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\geq 0

u < - \frac{1}{2} or u = - \frac{1}{2} or u = 3 or u > 3

Unire gli intervalli sovrapposti

u \leq - \frac{1}{2} or u = 3 or u > 3

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u < - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

u \leq - \frac{1}{2}

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq - \frac{1}{2}

u = 3

u \leq - \frac{1}{2} or u = 3

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u \leq - \frac{1}{2} or u = 3

u > 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

u \leq - \frac{1}{2} or u \geq 3

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) \leq - \frac{1}{2} or sin (x) \geq 3

sin (x) \leq - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \leq - \frac{1}{2}

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

Semplificare

- π - (- \frac{π}{6})

Applicare la regola

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Aggiungi elementi simili:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

Semplificare

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq 3 :

Falso per tutti

x \in R

sin (x) \geq 3

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq 3 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y \geq 3 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y \geq 3 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y \geq 3

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per x \in R

Falso per tutti x \in R

Combina gli intervalli

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn or Falso per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{5 π}{6} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Esempi popolari

4tan(x)>4,-pi/2 <θ< pi/2

tan(θ)>3cot(θ)

4tan(x)>4,(-pi/2 , pi/2)

solvefor x,sin(x+30)=tan(10)0<x<360

cos(x)>sin^2(x)-cos^2(x)