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Popolare Trigonometria >

4sin(x)cos(x)+1<= 0

Soluzione

4 sin (x) cos (x) + 1 \leq 0

Soluzione

- \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

Notazione dell’intervallo

[- \frac{5 π}{12} + πn, - \frac{π}{12} + πn]

Decimale

- 1.30899 \dots + πn \leq x \leq - 0.26179 \dots + πn

Fasi della soluzione

4 sin (x) cos (x) + 1 \leq 0

Usare l'identità seguente:

2 cos (x) sin (x) = sin (2 x)

Quindi

cos (x) sin (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} \leq 0

Semplifica

1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} : 1 + 2 sin (2 x)

1 + 4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2} = 2 sin (2 x)

4 \cdot \frac{sin ( 2 x )}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 x ) \cdot 4}{2}

Dividi i numeri:

\frac{4}{2} = 2

= 2 sin (2 x)

= 1 + 2 sin (2 x)

1 + 2 sin (2 x) \leq 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + 2 sin (2 x) \leq 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + 2 sin (2 x) - 1 \leq 0 - 1

Semplificare

2 sin (2 x) \leq - 1

2 sin (2 x) \leq - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (2 x) \leq - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( 2 x )}{2} \leq \frac{- 1}{2}

Semplificare

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2}

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2}

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x and 2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x : x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x

Scambia i lati

2 x \geq - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - π + \frac{π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6}) + 2 πn

Applicare la regola

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

- \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

- \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

x \geq - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

x \geq - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

Semplificare

- \frac{π}{2} + \frac{π}{12} : - \frac{5 π}{12}

- \frac{π}{2} + \frac{π}{12}

Minimo Comune Multiplo di

2, 12 : 12

2, 12

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Fattorizzazione prima di

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

diviso per

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 2 o 12

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

12

Per

\frac{π}{2} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

6

\frac{π}{2} = \frac{π 6}{2 \cdot 6} = \frac{π 6}{12}

= - \frac{π 6}{12} + \frac{π}{12}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{12}

Aggiungi elementi simili:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{12}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{12}

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq - \frac{π}{12} + πn

2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

- \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : - \frac{π}{12} + πn

- \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

Combina gli intervalli

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn and x \leq - \frac{π}{12} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

Esempi popolari

5-5cos^2(x)+2cos(x)>= 0,0<= x<2pi

2+cos^2(x)+sin(x)>0

2sin^2(x)-1>0

10<5sin(pi/6 (x+2))+6

arctan(1-|x|)<= 1/2