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Popolare Trigonometria >

2+cos^2(x)+sin(x)>0

Soluzione

2 + cos^{2} (x) + sin (x) > 0

Soluzione

Vero per tutti x \in R

Notazione dell’intervallo

(- \infty, \infty)

Fasi della soluzione

2 + cos^{2} (x) + sin (x) > 0

Usare l'identità seguente:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Quindi

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

2 + 1 - sin^{2} (x) + sin (x) > 0

Semplificare

sin (x) - sin^{2} (x) + 3 > 0

Sia:

u = sin (x)

u - u^{2} + 3 > 0

u - u^{2} + 3 > 0 : \frac{- 13 + 1}{2} < u < \frac{13 + 1}{2}

u - u^{2} + 3 > 0

Completa il quadrato

u - u^{2} + 3 : - (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4}

u - u^{2} + 3

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c

- u^{2} + u + 3

Scrivi

- u^{2} + u + 3

in forma:

x^{2} + 2 a x + a^{2}

Fattorizza fuori

- 1

- (u^{2} - u - 3)

2 a = - 1 : a = - \frac{1}{2}

2 a = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 a = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 a}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

a = - \frac{1}{2}

a = - \frac{1}{2}

Somma e sottrai

(- \frac{1}{2})^{2}

- (u^{2} - u - 3 + (- \frac{1}{2})^{2} - (- \frac{1}{2})^{2})

x^{2} + 2 a x + a^{2} = (x + a)^{2}

u^{2} - 1 u + (- \frac{1}{2})^{2} = (u - \frac{1}{2})^{2}

- ((u - \frac{1}{2})^{2} - 3 - (- \frac{1}{2})^{2})

Semplificare

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4}

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4} > 0

Spostare

\frac{13}{4}

a destra dell'equazione

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4} > 0

Sottrarre

\frac{13}{4}

da entrambi i lati

- (u - \frac{1}{2})^{2} + \frac{13}{4} - \frac{13}{4} > 0 - \frac{13}{4}

Semplificare

- (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{13}{4}

- (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{13}{4}

Moltiplica entrambi i lati per

- 1

- (u - \frac{1}{2})^{2} > - \frac{13}{4}

Moltiplicare entrambi i lati per -1 (invertire la disuguaglianza)

(- (u - \frac{1}{2})^{2}) (- 1) < (- \frac{13}{4}) (- 1)

Semplificare

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{13}{4}

(u - \frac{1}{2})^{2} < \frac{13}{4}

Per

u^{n} < a

, se

n

è pari allora

- \frac{13}{4} < u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4}

a < u < b

allora

a < u and u < b

- \frac{13}{4} < u - \frac{1}{2} and u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4}

- \frac{13}{4} < u - \frac{1}{2} : u > \frac{- 13 + 1}{2}

- \frac{13}{4} < u - \frac{1}{2}

Scambia i lati

u - \frac{1}{2} > - \frac{13}{4}

Semplifica

\frac{13}{4} : \frac{13}{2}

\frac{13}{4}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{13}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{13}{2}

u - \frac{1}{2} > - \frac{13}{2}

Spostare

\frac{1}{2}

a destra dell'equazione

u - \frac{1}{2} > - \frac{13}{2}

Aggiungi

\frac{1}{2}

ad entrambi i lati

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

Semplificare

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > - \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

Semplificare

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} > 0

= u

Semplificare

- \frac{13}{2} + \frac{1}{2} : \frac{- 13 + 1}{2}

- \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 13 + 1}{2}

u > \frac{- 13 + 1}{2}

u > \frac{- 13 + 1}{2}

u > \frac{- 13 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4} : u < \frac{13 + 1}{2}

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

2^{2} = 2

= 2

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{2}

Spostare

\frac{1}{2}

a destra dell'equazione

u - \frac{1}{2} < \frac{13}{2}

Aggiungi

\frac{1}{2}

ad entrambi i lati

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

Semplificare

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < \frac{13}{2} + \frac{1}{2}

Semplificare

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} : u

u - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} < 0

= u

Semplificare

\frac{13}{2} + \frac{1}{2} : \frac{13 + 1}{2}

\frac{13}{2} + \frac{1}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{13 + 1}{2}

u < \frac{13 + 1}{2}

u < \frac{13 + 1}{2}

u < \frac{13 + 1}{2}

Combina gli intervalli

u > \frac{- 13 + 1}{2} and u < \frac{13 + 1}{2}

Unire gli intervalli sovrapposti

u > \frac{- 13 + 1}{2} and u < \frac{13 + 1}{2}

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

u > \frac{- 13 + 1}{2}

u < \frac{13 + 1}{2}

\frac{- 13 + 1}{2} < u < \frac{13 + 1}{2}

\frac{- 13 + 1}{2} < u < \frac{13 + 1}{2}

\frac{- 13 + 1}{2} < u < \frac{13 + 1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

\frac{- 13 + 1}{2} < sin (x) < \frac{13 + 1}{2}

a < u < b

allora

a < u and u < b

\frac{- 13 + 1}{2} < sin (x) and sin (x) < \frac{13 + 1}{2}

\frac{- 13 + 1}{2} < sin (x) :

Vero per tutti

x \in R

\frac{- 13 + 1}{2} < sin (x)

Scambia i lati

sin (x) > \frac{- 13 + 1}{2}

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > \frac{- 13 + 1}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y > \frac{- 13 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y > \frac{- 13 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y > \frac{- 13 + 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

sin (x) < \frac{13 + 1}{2} :

Vero per tutti

x \in R

sin (x) < \frac{13 + 1}{2}

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < \frac{13 + 1}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y < \frac{13 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y < \frac{13 + 1}{2} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y < \frac{13 + 1}{2}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Combina gli intervalli

Vero per tutti x \in R and Vero per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

Vero per tutti x \in R and Vero per tutti x \in R

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

Vero per tutti

x \in R

Vero per tutti

x \in R

Vero per tutti x \in R

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Esempi popolari

2sin^2(x)-1>0

10<5sin(pi/6 (x+2))+6

arctan(1-|x|)<= 1/2

sin(t)< 1/3 ln(1)

5-8cos(x)+4cos(2x)<0