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Popolare Trigonometria >

(tan(x)+1)/(tan(x)-1)<= 0

Soluzione

\frac{tan ( x ) + 1}{tan ( x ) - 1} \leq 0

Soluzione

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x < π + πn

Notazione dell’intervallo

[πn, \frac{π}{4} + πn) \cup [\frac{3 π}{4} + πn, π + πn)

Decimale

πn \leq x < 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn \leq x < 3.14159 \dots + πn

Fasi della soluzione

\frac{tan ( x ) + 1}{tan ( x ) - 1} \leq 0

Sia:

u = tan (x)

\frac{u + 1}{u - 1} \leq 0

\frac{u + 1}{u - 1} \leq 0 : - 1 \leq u < 1

\frac{u + 1}{u - 1} \leq 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

\frac{u + 1}{u - 1}

Trova i segni di

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

u > - 1

u > - 1

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Trova i punti singolari

Trovare gli zeri del denominatore

u - 1 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Riassumere in una tabella:

u + 1 u - 1 \frac{u + 1}{u - 1} u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 1 + - - u = 1 + 0 “ N o n d e f ini t o “ u > 1 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < 1

Unire gli intervalli sovrapposti

u = - 1 or - 1 < u < 1

L'unione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in uno dei due intervalli

u = - 1

- 1 < u < 1

- 1 \leq u < 1

- 1 \leq u < 1

- 1 \leq u < 1

- 1 \leq u < 1

Sostituire indietro

u = tan (x)

- 1 \leq tan (x) < 1

a \leq u < b

allora

a \leq u and u < b

- 1 \leq tan (x) and tan (x) < 1

- 1 \leq tan (x) : - \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

- 1 \leq tan (x)

Scambia i lati

tan (x) \geq - 1

tan (x) \geq a

allora

arctan (a) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

arctan (- 1) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

Semplificare

arctan (- 1) : - \frac{π}{4}

arctan (- 1)

Usare la proprietà seguente:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1) = - arctan (1)

= - arctan (1)

Usare la seguente identità triviale:

arctan (1) = \frac{π}{4}

arctan (1)

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn

tan (x) < 1 : - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

tan (x) < 1

tan (x) < a

allora

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (a) + πn

- \frac{π}{2} + πn < x < arctan (1) + πn

Semplificare

arctan (1) : \frac{π}{4}

arctan (1)

Usare la seguente identità triviale:

arctan (1) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{3}{3} 13 arctan (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} arctan (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Combina gli intervalli

- \frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn and - \frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{4} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

πn \leq x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn \leq x < π + πn

Esempi popolari

6sin^2(x)-5sin(x)+1<= 0