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Popolare Trigonometria >

sin^2(2x)>= 1/4

Soluzione

sin^{2} (2 x) \geq \frac{1}{4}

Soluzione

\frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn or - \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

Notazione dell’intervallo

[\frac{π}{12} + πn, \frac{5 π}{12} + πn] \cup [- \frac{5 π}{12} + πn, - \frac{π}{12} + πn]

Decimale

0.26179 \dots + πn \leq x \leq 1.30899 \dots + πn or - 1.30899 \dots + πn \leq x \leq - 0.26179 \dots + πn

Fasi della soluzione

sin^{2} (2 x) \geq \frac{1}{4}

Per

u^{n} \geq a

, se

n

è pari allora

sin (2 x) \leq - \frac{1}{4} or sin (2 x) \geq \frac{1}{4}

\frac{1}{4} = \frac{1}{2}

\frac{1}{4}

Applicare la regola della radice:

assumendo

a \geq 0, b \geq 0

= \frac{1}{4}

4 = 2

4

Fattorizzare il numero:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Applicare la regola della radice:

2^{2} = 2

= 2

= \frac{1}{2}

Applicare la regola

1 = 1

= \frac{1}{2}

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2} or sin (2 x) \geq \frac{1}{2}

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

sin (2 x) \leq - \frac{1}{2}

Per

sin (x) \leq a

, se

- 1 < a < 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x and 2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x : x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x

Scambia i lati

2 x \geq - π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - π + \frac{π}{6} + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6}) + 2 πn

Applicare la regola

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x \geq - π + \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} \geq - \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

- \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

- \frac{π}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

x \geq - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

x \geq - \frac{π}{2} + \frac{π}{12} + πn

Semplificare

- \frac{π}{2} + \frac{π}{12} : - \frac{5 π}{12}

- \frac{π}{2} + \frac{π}{12}

Minimo Comune Multiplo di

2, 12 : 12

2, 12

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Fattorizzazione prima di

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

diviso per

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 2 o 12

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

12

Per

\frac{π}{2} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

6

\frac{π}{2} = \frac{π 6}{2 \cdot 6} = \frac{π 6}{12}

= - \frac{π 6}{12} + \frac{π}{12}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{12}

Aggiungi elementi simili:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{12}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{12}

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn

2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq - \frac{π}{12} + πn

2 x \leq arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn : - \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x \leq - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} \leq - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

- \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : - \frac{π}{12} + πn

- \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

x \leq - \frac{π}{12} + πn

Combina gli intervalli

x \geq - \frac{5 π}{12} + πn and x \leq - \frac{π}{12} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

sin (2 x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn

sin (2 x) \geq \frac{1}{2}

Per

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

a \leq u \leq b

allora

a \leq u and u \leq b

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x and 2 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x : x \geq \frac{π}{12} + πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq 2 x

Scambia i lati

2 x \geq arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \geq \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} \geq \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{12} + πn

\frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{12} + πn

x \geq \frac{π}{12} + πn

x \geq \frac{π}{12} + πn

x \geq \frac{π}{12} + πn

2 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : x \leq \frac{5 π}{12} + πn

2 x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Semplificare

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn : π - \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6} + 2 πn

2 x \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} \leq \frac{π}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} \leq \frac{π}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{π}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{2} - \frac{π}{12} + πn

\frac{π}{2} - \frac{\frac{π}{6}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{6}}{2} = \frac{π}{12}

\frac{\frac{π}{6}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

6 \cdot 2 = 12

= \frac{π}{12}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{2} - \frac{π}{12} + πn

x \leq \frac{π}{2} - \frac{π}{12} + πn

x \leq \frac{π}{2} - \frac{π}{12} + πn

Semplificare

\frac{π}{2} - \frac{π}{12} : \frac{5 π}{12}

\frac{π}{2} - \frac{π}{12}

Minimo Comune Multiplo di

2, 12 : 12

2, 12

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

2 : 2

2

2

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 2

Fattorizzazione prima di

12 : 2 \cdot 2 \cdot 3

12

12

diviso per

212 = 6 \cdot 2

= 2 \cdot 6

6

diviso per

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 3

2, 3

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 2 o 12

= 2 \cdot 2 \cdot 3

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 3 = 12

= 12

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

12

Per

\frac{π}{2} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

6

\frac{π}{2} = \frac{π 6}{2 \cdot 6} = \frac{π 6}{12}

= \frac{π 6}{12} - \frac{π}{12}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{12}

Aggiungi elementi simili:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{12}

x \leq \frac{5 π}{12} + πn

x \leq \frac{5 π}{12} + πn

Combina gli intervalli

x \geq \frac{π}{12} + πn and x \leq \frac{5 π}{12} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn

Combina gli intervalli

- \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn or \frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn

Unire gli intervalli sovrapposti

\frac{π}{12} + πn \leq x \leq \frac{5 π}{12} + πn or - \frac{5 π}{12} + πn \leq x \leq - \frac{π}{12} + πn

Esempi popolari

-1/2 <= cos(2x)

-2+3csc(2x-pi)>= 0

cos(4x)> 1/2

tan(x)>=-(sqrt(3))/3 ,0<= x<= 2pi

sin(θ)<3