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Beliebt Trigonometrie >

-2+3csc(2x-pi)>= 0

Lösung

- 2 + 3 csc (2 x - π) \geq 0

Lösung

\frac{π}{2} + πn < x < π + πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{2} + πn, π + πn)

Dezimale

1.57079 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

Schritte zur Lösung

- 2 + 3 csc (2 x - π) \geq 0

Periodizität von

- 2 + 3 csc (2 x - π) : π

Periodizität von

a \cdot csc (b x + c) + d = \frac{Periodizit a ¨ t von csc ( x )}{∣ b ∣}

Die Periodizität von

csc (x)

ist

2 π

= \frac{2 π}{∣ 2 ∣}

Vereinfache

= π

Drücke mit sin, cos aus

- 2 + 3 csc (2 x - π) \geq 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

- 2 + 3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x - π )} \geq 0

- 2 + 3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x - π )} \geq 0

Vereinfache

- 2 + 3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x - π )} : \frac{- 2 sin ( 2 x - π ) + 3}{sin ( 2 x - π )}

- 2 + 3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x - π )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x - π )} = \frac{3}{sin ( 2 x - π )}

3 \cdot \frac{1}{sin ( 2 x - π )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{sin ( 2 x - π )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{sin ( 2 x - π )}

= - 2 + \frac{3}{sin ( 2 x - π )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

2 = \frac{2 sin ( 2 x - π )}{sin ( 2 x - π )}

= - \frac{2 sin ( 2 x - π )}{sin ( 2 x - π )} + \frac{3}{sin ( 2 x - π )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 2 sin ( 2 x - π ) + 3}{sin ( 2 x - π )}

\frac{- 2 sin ( 2 x - π ) + 3}{sin ( 2 x - π )} \geq 0

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{- 2 sin ( 2 x - π ) + 3}{sin ( 2 x - π )}

für

0 \leq x < π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{- 2 sin ( 2 x - π ) + 3}{sin ( 2 x - π )} = 0

\frac{- 2 sin ( 2 x - π ) + 3}{sin ( 2 x - π )} = 0, 0 \leq x < π :

Keine Lösung für

x \in R

\frac{- 2 sin ( 2 x - π ) + 3}{sin ( 2 x - π )} = 0, 0 \leq x < π

Löse mit Substitution

\frac{- 2 sin ( 2 x - π ) + 3}{sin ( 2 x - π )} = 0

Angenommen:

sin (2 x - π) = u

\frac{- 2 u + 3}{u} = 0

\frac{- 2 u + 3}{u} = 0 : u = \frac{3}{2}

\frac{- 2 u + 3}{u} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- 2 u + 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

- 2 u + 3 = 0

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

- 2 u + 3 - 3 = 0 - 3

Vereinfache

- 2 u = - 3

- 2 u = - 3

Teile beide Seiten durch

- 2

- 2 u = - 3

Teile beide Seiten durch

- 2

\frac{- 2 u}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}

Vereinfache

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

\frac{- 2 u + 3}{u}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (2 x - π)

ein

sin (2 x - π) = \frac{3}{2}

sin (2 x - π) = \frac{3}{2}

sin (2 x - π) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < π :

Keine Lösung

sin (2 x - π) = \frac{3}{2}, 0 \leq x < π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Finde die unbestimmten Punkte:

x = \frac{π}{2}, x = 0

Finde die Nullstellen des Nenners

sin (2 x - π) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (2 x - π) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

2 x - π = 0 + 2 πn, 2 x - π = π + 2 πn

2 x - π = 0 + 2 πn, 2 x - π = π + 2 πn

Löse

2 x - π = 0 + 2 πn : x = πn + \frac{π}{2}

2 x - π = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

2 x - π = 2 πn

Verschiebe

π

auf die rechte Seite

2 x - π = 2 πn

Füge

π

zu beiden Seiten hinzu

2 x - π + π = 2 πn + π

Vereinfache

2 x = 2 πn + π

2 x = 2 πn + π

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 πn + π

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2} + \frac{π}{2}

Vereinfache

x = πn + \frac{π}{2}

x = πn + \frac{π}{2}

Löse

2 x - π = π + 2 πn : x = π + πn

2 x - π = π + 2 πn

Verschiebe

π

auf die rechte Seite

2 x - π = π + 2 πn

Füge

π

zu beiden Seiten hinzu

2 x - π + π = π + 2 πn + π

Vereinfache

2 x = 2 π + 2 πn

2 x = 2 π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2 π + 2 πn

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Vereinfache

x = π + πn

x = π + πn

x = πn + \frac{π}{2}, x = π + πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}, x = 0

0, \frac{π}{2}

Identifiziere die Intervalle

0 < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

- 2 sin (2 x - π) + 3 sin (2 x - π) \frac{- 2 s i n ( 2 x - π ) + 3}{s i n ( 2 x - π )} x = 0 + 0 Unbestimmt 0 < x < \frac{π}{2} + - - x = \frac{π}{2} + 0 Unbestimmt \frac{π}{2} < x < π + + + x = π + 0 Unbestimmt

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

\frac{π}{2} < x < π

Verwende die Periodizität von

- 2 + 3 csc (2 x - π)

\frac{π}{2} + πn < x < π + πn

Beliebte Beispiele

cos(4x)> 1/2

cos (4 x) > \frac{1}{2}

tan(x)>=-(sqrt(3))/3 ,0<= x<= 2pi

tan (x) \geq - \frac{3}{3}, 0 \leq x \leq 2 π

sin(θ)<3

sin (θ) < 3

sin(θ)<2

sin (θ) < 2

4cos(x)<0

4 cos (x) < 0