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Beliebt Trigonometrie >

2sin^2(x)+3sin(x)>= 2,0<= x<= pi/2

Lösung

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2, 0 \leq x \leq \frac{π}{2}

Lösung

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}

Intervall-Notation

[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]

Dezimale

0.52359 \dots \leq x \leq 1.57079 \dots

Schritte zur Lösung

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2, 0 \leq x \leq \frac{π}{2}

Angenommen:

u = sin (x)

2 u^{2} + 3 u \geq 2

2 u^{2} + 3 u \geq 2 : u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Rewrite in standard form

2 u^{2} + 3 u \geq 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 2 - 2

Vereinfache

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

Faktorisiere

2 u^{2} + 3 u - 2 : (2 u - 1) (u + 2)

2 u^{2} + 3 u - 2

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} + 3 u - 2

Definition

Faktoren von

4 : 1, 2, 4

4

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

4 : 2, 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2

Addiere alle Primfaktoren.

2

Addiere 1 und die Zahl

4

selbst

1, 4

Die Faktoren von

4

1, 2, 4

Negative Faktoren von

4 : - 1, - 2, - 4

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 4

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 4,

prüfe, ob

u + v = 3

Prüfe

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

Falsch

u = 4, v = - 1

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

= (2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

Klammere

u

aus

2 u^{2} - u

aus

: u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u - 1)

Klammere

2

aus

4 u - 2

aus

: 2 (2 u - 1)

4 u - 2

Schreibe

4

um:

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 u - 2

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 2)

(2 u - 1) (u + 2) \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(2 u - 1) (u + 2)

Finde die Vorzeichen von

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

2 u < 1

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

2 u > 1

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 = 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 = 0 - 2

Vereinfache

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 < 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 < 0 - 2

Vereinfache

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

u + 2 > 0

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

u + 2 - 2 > 0 - 2

Vereinfache

u > - 2

u > - 2

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u - 1 u + 2 (2 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

u < - 2 or u = - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u < - 2

oder

u = - 2

u \leq - 2

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - 2

oder

u = \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

oder

u > \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) \leq - 2 or sin (x) \geq \frac{1}{2}

sin (x) \leq - 2 :

Falsch für alle

x \in R

sin (x) \leq - 2

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq - 2 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \leq - 2

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

sin (x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2}

Für

sin (x) \geq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Vereinfache

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Vereinfache

π - \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R or \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and 0 \leq x \leq \frac{π}{2}

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}

Graph

Beliebte Beispiele

cos(pi/4 x)>0

cos (\frac{π}{4} x) > 0

csc(-θ)<0

csc (- θ) < 0

tan(x)<=-sqrt(3)

tan (x) \leq - 3

1-1/(cos(x))< 1/2*10^{-2}

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

sin(x)-sqrt(3)cos(x)<1

sin (x) - 3 cos (x) < 1