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人気のある三角関数 >

2sin^2(x)+3sin(x)>= 2,0<= x<= pi/2

解

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2, 0 \leq x \leq \frac{π}{2}

解

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}

+2

区間表記

[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]

十進法表記

0.52359 \dots \leq x \leq 1.57079 \dots

解答ステップ

2 sin^{2} (x) + 3 sin (x) \geq 2, 0 \leq x \leq \frac{π}{2}

仮定:

u = sin (x)

2 u^{2} + 3 u \geq 2

2 u^{2} + 3 u \geq 2 : u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

2 u^{2} + 3 u \geq 2

標準的な形式で書き換える

2 u^{2} + 3 u \geq 2

両辺から

2

を引く

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 2 - 2

簡素化

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

2 u^{2} + 3 u - 2 \geq 0

因数

2 u^{2} + 3 u - 2 : (2 u - 1) (u + 2)

2 u^{2} + 3 u - 2

式をグループに分ける

2 u^{2} + 3 u - 2

定義

以下の因数:

4 : 1, 2, 4

4

除数 (因数)

以下の素因数を求める:

4 : 2, 2

4

424 = 2 \cdot 2

で割る

= 2 \cdot 2

2

は素数なので, さらに因数分解はできない

= 2 \cdot 2

素因数を加える:

2

1 および

4

の数自体を加える

1, 4

以下の因数:

4

1, 2, 4

以下の負の因数:

4 : - 1, - 2, - 4

因数に

- 1

を乗じて負の因数を得る

- 1, - 2, - 4

u * v = - 4

などの各 2 因数で以下をチェックする:

u + v = 3

以下をチェックする:

u = 1, v = - 4 : u * v = - 4, u + v = - 3 \Rightarrow

偽以下をチェックする:

u = 2, v = - 2 : u * v = - 4, u + v = 0 \Rightarrow

偽

u = 4, v = - 1

以下に分ける:

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

= (2 u^{2} - u) + (4 u - 2)

u

を

2 u^{2} - u : u (2 u - 1)

からくくり出す

2 u^{2} - u

指数の規則を適用する:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

共通項をくくり出す

u

= u (2 u - 1)

2

を

4 u - 2 : 2 (2 u - 1)

からくくり出す

4 u - 2

4

を書き換え

2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 u - 2

共通項をくくり出す

2

= 2 (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1)

共通項をくくり出す

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 2)

(2 u - 1) (u + 2) \geq 0

区間を特定する

以下の因数の符号を求める:

(2 u - 1) (u + 2)

以下の符号を求める:

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 = 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

簡素化

2 u = 1

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

2 u = 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

簡素化

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 < 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

簡素化

2 u < 1

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

2 u < 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

簡素化

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

1

を右側に移動します

2 u - 1 > 0

両辺に

1

を足す

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

簡素化

2 u > 1

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

2 u > 1

以下で両辺を割る

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

簡素化

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

以下の符号を求める:

u + 2

u + 2 = 0 : u = - 2

u + 2 = 0

2

を右側に移動します

u + 2 = 0

両辺から

2

を引く

u + 2 - 2 = 0 - 2

簡素化

u = - 2

u = - 2

u + 2 < 0 : u < - 2

u + 2 < 0

2

を右側に移動します

u + 2 < 0

両辺から

2

を引く

u + 2 - 2 < 0 - 2

簡素化

u < - 2

u < - 2

u + 2 > 0 : u > - 2

u + 2 > 0

2

を右側に移動します

u + 2 > 0

両辺から

2

を引く

u + 2 - 2 > 0 - 2

簡素化

u > - 2

u > - 2

表で要約する:

2 u - 1 u + 2 (2 u - 1) (u + 2) u < - 2 - - + u = - 2 - 00 - 2 < u < \frac{1}{2} - + - u = \frac{1}{2} 0 + 0 u > \frac{1}{2} + + +

必要条件を満たす区間を特定する:

\geq 0

u < - 2 or u = - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

重複している区間をマージする

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2} or u > \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

u < - 2

または

のいずれかの数の集合である

u = - 2

u \leq - 2

2つの区間の和集合は, 区間

u \leq - 2

または

のいずれかの数の集合である

u = \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

2つの区間の和集合は, 区間

u \leq - 2 or u = \frac{1}{2}

または

のいずれかの数の集合である

u > \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

u \leq - 2 or u \geq \frac{1}{2}

代用を戻す

u = sin (x)

sin (x) \leq - 2 or sin (x) \geq \frac{1}{2}

sin (x) \leq - 2 :

すべて偽

x \in R

sin (x) \leq - 2

以下の範囲:

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

関数範囲の定義

基本的な

sin

関数の範囲は

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq - 2 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

偽

y =

にする

sin (x)

区間を組み合わせる

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

重複している区間をマージする

y \leq - 2 and - 1 \leq y \leq 1

2つの区間の交点は, 区間

y \leq - 2

と

の両方の数の集合である

- 1 \leq y \leq 1

すべて偽 y \in R

すべて偽 y \in R

以下の解はない : x \in R

すべて偽 x \in R

sin (x) \geq \frac{1}{2} : \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{1}{2}

sin (x) \geq a

では,

- 1 < a < 1

の場合は

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

簡素化

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

簡素化

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

次の自明恒等式を使用する:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

簡素化

π - \frac{π}{6}

元を分数に変換する:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

分母が等しいので, 分数を組み合わせる:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

類似した元を足す:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

区間を組み合わせる

すべて偽 x \in R or \frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

重複している区間をマージする

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn

区間を組み合わせる

\frac{π}{6} + 2 πn \leq x \leq \frac{5 π}{6} + 2 πn and 0 \leq x \leq \frac{π}{2}

\frac{π}{6} \leq x \leq \frac{π}{2}

グラフ

人気の例

cos (\frac{π}{4} x) > 0

csc (- θ) < 0

tan(x)<=-sqrt(3)

tan (x) \leq - 3

1-1/(cos(x))< 1/2*10^{-2}

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

sin(x)-sqrt(3)cos(x)<1

sin (x) - 3 cos (x) < 1