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Popolare Trigonometria >

1-1/(cos(x))< 1/2*10^{-2}

Soluzione

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Soluzione

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn)

Decimale

- 1.57079 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Riscrivere in forma standard

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Sottrarre

\frac{1}{2} 1 0^{- 2}

da entrambi i lati

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Semplificare

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Semplifica

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} : 1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} = \frac{1}{200}

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

1 0^{- 2} = \frac{1}{1 0 ^{2}}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 0 ^{2}}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1 0 ^{2}}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{1 0 ^{2} \cdot 2}

2 \cdot 1 0^{2} = 200

2 \cdot 1 0^{2}

1 0^{2} = 100

= 2 \cdot 100

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 100 = 200

= 200

= \frac{1}{200}

= 1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200} < 0

Semplifica

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200} : \frac{199 cos ( x ) - 200}{200 cos ( x )}

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

Converti l'elemento in frazione:

1 = \frac{1}{1}

= \frac{1}{1} - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

Minimo Comune Multiplo di

1, cos (x), 200 : 200 cos (x)

1, cos (x), 200

Minimo comune multiplo (mcm)

Minimo Comune Multiplo di

1, 200 : 200

1, 200

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

1

Fattorizzazione prima di

200 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

200

200

diviso per

2200 = 100 \cdot 2

= 2 \cdot 100

100

diviso per

2100 = 50 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 50

50

diviso per

250 = 25 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 25

25

diviso per

525 = 5 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 1 o 200

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 200

= 200

Calcola un espressione composta da fattori che appaiono almeno in una delle espressioni scomposte

= 200 cos (x)

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

200 cos (x)

Per

\frac{1}{1} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

200 cos (x)

\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot 200 cos ( x )}{1 \cdot 200 cos ( x )} = \frac{200 cos ( x )}{200 cos ( x )}

Per

\frac{1}{cos ( x )} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

200

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot 200}{cos ( x ) \cdot 200} = \frac{200}{200 cos ( x )}

Per

\frac{1}{200} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

cos (x)

\frac{1}{200} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{200 cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{200 cos ( x )}

= \frac{200 cos ( x )}{200 cos ( x )} - \frac{200}{200 cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{200 cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{200 cos ( x ) - 200 - cos ( x )}{200 cos ( x )}

200 cos (x) - 200 - cos (x) = 199 cos (x) - 200

200 cos (x) - 200 - cos (x)

Raggruppa termini simili

= 200 cos (x) - cos (x) - 200

Aggiungi elementi simili:

200 cos (x) - cos (x) = 199 cos (x)

= 199 cos (x) - 200

= \frac{199 cos ( x ) - 200}{200 cos ( x )}

\frac{199 cos ( x ) - 200}{200 cos ( x )} < 0

Moltiplica entrambi i lati per

200

\frac{200 ( 199 cos ( x ) - 200 )}{200 cos ( x )} < 0 \cdot 200

Semplificare

\frac{199 cos ( x ) - 200}{cos ( x )} < 0

\frac{199 cos ( x ) - 200}{cos ( x )} < 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

\frac{199 cos ( x ) - 200}{cos ( x )}

Trova i segni di

199 cos (x) - 200

199 cos (x) - 200 = 0 : cos (x) = \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 = 0

Spostare

200

a destra dell'equazione

199 cos (x) - 200 = 0

Aggiungi

200

ad entrambi i lati

199 cos (x) - 200 + 200 = 0 + 200

Semplificare

199 cos (x) = 200

199 cos (x) = 200

Dividere entrambi i lati per

199

199 cos (x) = 200

Dividere entrambi i lati per

199

\frac{199 cos ( x )}{199} = \frac{200}{199}

Semplificare

cos (x) = \frac{200}{199}

cos (x) = \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 < 0 : cos (x) < \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 < 0

Spostare

200

a destra dell'equazione

199 cos (x) - 200 < 0

Aggiungi

200

ad entrambi i lati

199 cos (x) - 200 + 200 < 0 + 200

Semplificare

199 cos (x) < 200

199 cos (x) < 200

Dividere entrambi i lati per

199

199 cos (x) < 200

Dividere entrambi i lati per

199

\frac{199 cos ( x )}{199} < \frac{200}{199}

Semplificare

cos (x) < \frac{200}{199}

cos (x) < \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 > 0 : cos (x) > \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 > 0

Spostare

200

a destra dell'equazione

199 cos (x) - 200 > 0

Aggiungi

200

ad entrambi i lati

199 cos (x) - 200 + 200 > 0 + 200

Semplificare

199 cos (x) > 200

199 cos (x) > 200

Dividere entrambi i lati per

199

199 cos (x) > 200

Dividere entrambi i lati per

199

\frac{199 cos ( x )}{199} > \frac{200}{199}

Semplificare

cos (x) > \frac{200}{199}

cos (x) > \frac{200}{199}

Trova i segni di

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Trova i punti singolari

Trovare gli zeri del denominatore

cos (x) : cos (x) = 0

Riassumere in una tabella:

199 cos (x) - 200 cos (x) \frac{199 c o s ( x ) - 200}{c o s ( x )} cos (x) < 0 - - + cos (x) = 0 - 0 “ N o n d e f ini t o “ 0 < cos (x) < \frac{200}{199} - + - cos (x) = \frac{200}{199} 0 + 0 cos (x) > \frac{200}{199} + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

< 0

0 < cos (x) < \frac{200}{199}

0 < cos (x) < \frac{200}{199}

a < u < b

allora

a < u and u < b

0 < cos (x) and cos (x) < \frac{200}{199}

0 < cos (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

0 < cos (x)

Scambia i lati

cos (x) > 0

Per

cos (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Semplificare

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Semplificare

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Usare la seguente identità triviale:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) < \frac{200}{199} :

Vero per tutti

x \in R

cos (x) < \frac{200}{199}

Intervallo di

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < \frac{200}{199} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Lasciare

y = cos (x)

Combina gli intervalli

y < \frac{200}{199} and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y < \frac{200}{199} and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y < \frac{200}{199}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vero per tutte x

Vero per tutti x \in R

Combina gli intervalli

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn and Vero per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Esempi popolari

sin(x)-sqrt(3)cos(x)<1

sin (x) - 3 cos (x) < 1

(cos(x)(1+tan(x)))/(cos(x)(1-tan(x)))>0

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )} > 0

sin((pix)/2)> 1/2

sin (\frac{π x}{2}) > \frac{1}{2}

sin(x)> 1/(sin(x))

sin (x) > \frac{1}{sin ( x )}

<=-1tan(x/2-pi/3)<= sqrt(3)

\leq - 1 tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) \leq 3