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Popular Trigonometria >

1-1/(cos(x))< 1/2*10^{-2}

Solução

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Solução

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Notação de intervalo

(- \frac{π}{2} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn)

Decimal

- 1.57079 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn

Passos da solução

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Reescrever na forma geral

1 - \frac{1}{cos ( x )} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Subtrair

\frac{1}{2} 1 0^{- 2}

de ambos os lados

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Simplificar

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} < \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Simplificar

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} : 1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2} = \frac{1}{200}

\frac{1}{2} \cdot 1 0^{- 2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}

1 0^{- 2} = \frac{1}{1 0 ^{2}}

= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 0 ^{2}}

Multiplicar frações:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1 0 ^{2}}

Multiplicar os números:

1 \cdot 1 = 1

= \frac{1}{1 0 ^{2} \cdot 2}

2 \cdot 1 0^{2} = 200

2 \cdot 1 0^{2}

1 0^{2} = 100

= 2 \cdot 100

Multiplicar os números:

2 \cdot 100 = 200

= 200

= \frac{1}{200}

= 1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200} < 0

Simplificar

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200} : \frac{199 cos ( x ) - 200}{200 cos ( x )}

1 - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

Converter para fração:

1 = \frac{1}{1}

= \frac{1}{1} - \frac{1}{cos ( x )} - \frac{1}{200}

Mínimo múltiplo comum de

1, cos (x), 200 : 200 cos (x)

1, cos (x), 200

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Mínimo múltiplo comum de

1, 200 : 200

1, 200

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

1

Decomposição em fatores primos de

200 : 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

200

200

dividida por

2200 = 100 \cdot 2

= 2 \cdot 100

100

dividida por

2100 = 50 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 50

50

dividida por

250 = 25 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 25

25

dividida por

525 = 5 \cdot 5

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

2, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

1

ou em

200

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 200

= 200

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes em ao menos uma das expressões fatoradas

= 200 cos (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{1} :

multiplique o numerador e o denominador por

200 cos (x)

\frac{1}{1} = \frac{1 \cdot 200 cos ( x )}{1 \cdot 200 cos ( x )} = \frac{200 cos ( x )}{200 cos ( x )}

Para

\frac{1}{cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

200

\frac{1}{cos ( x )} = \frac{1 \cdot 200}{cos ( x ) \cdot 200} = \frac{200}{200 cos ( x )}

Para

\frac{1}{200} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x)

\frac{1}{200} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{200 cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{200 cos ( x )}

= \frac{200 cos ( x )}{200 cos ( x )} - \frac{200}{200 cos ( x )} - \frac{cos ( x )}{200 cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{200 cos ( x ) - 200 - cos ( x )}{200 cos ( x )}

200 cos (x) - 200 - cos (x) = 199 cos (x) - 200

200 cos (x) - 200 - cos (x)

Agrupar termos semelhantes

= 200 cos (x) - cos (x) - 200

Somar elementos similares:

200 cos (x) - cos (x) = 199 cos (x)

= 199 cos (x) - 200

= \frac{199 cos ( x ) - 200}{200 cos ( x )}

\frac{199 cos ( x ) - 200}{200 cos ( x )} < 0

Multiplicar ambos os lados por

200

\frac{200 ( 199 cos ( x ) - 200 )}{200 cos ( x )} < 0 \cdot 200

Simplificar

\frac{199 cos ( x ) - 200}{cos ( x )} < 0

\frac{199 cos ( x ) - 200}{cos ( x )} < 0

Identifique os intervalos

Encontre os sinais dos fatores de

\frac{199 cos ( x ) - 200}{cos ( x )}

Encontre os sinais de

199 cos (x) - 200

199 cos (x) - 200 = 0 : cos (x) = \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 = 0

Mova

200

para o lado direito

199 cos (x) - 200 = 0

Adicionar

200

a ambos os lados

199 cos (x) - 200 + 200 = 0 + 200

Simplificar

199 cos (x) = 200

199 cos (x) = 200

Dividir ambos os lados por

199

199 cos (x) = 200

Dividir ambos os lados por

199

\frac{199 cos ( x )}{199} = \frac{200}{199}

Simplificar

cos (x) = \frac{200}{199}

cos (x) = \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 < 0 : cos (x) < \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 < 0

Mova

200

para o lado direito

199 cos (x) - 200 < 0

Adicionar

200

a ambos os lados

199 cos (x) - 200 + 200 < 0 + 200

Simplificar

199 cos (x) < 200

199 cos (x) < 200

Dividir ambos os lados por

199

199 cos (x) < 200

Dividir ambos os lados por

199

\frac{199 cos ( x )}{199} < \frac{200}{199}

Simplificar

cos (x) < \frac{200}{199}

cos (x) < \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 > 0 : cos (x) > \frac{200}{199}

199 cos (x) - 200 > 0

Mova

200

para o lado direito

199 cos (x) - 200 > 0

Adicionar

200

a ambos os lados

199 cos (x) - 200 + 200 > 0 + 200

Simplificar

199 cos (x) > 200

199 cos (x) > 200

Dividir ambos os lados por

199

199 cos (x) > 200

Dividir ambos os lados por

199

\frac{199 cos ( x )}{199} > \frac{200}{199}

Simplificar

cos (x) > \frac{200}{199}

cos (x) > \frac{200}{199}

Encontre os sinais de

cos (x)

cos (x) = 0

cos (x) < 0

cos (x) > 0

Encontre pontos de singularidade

Encontre os zeros do denominador

cos (x) : cos (x) = 0

Resumir em uma tabela:

199 cos (x) - 200 cos (x) \frac{199 c o s ( x ) - 200}{c o s ( x )} cos (x) < 0 - - + cos (x) = 0 - 0 Indefinido 0 < cos (x) < \frac{200}{199} - + - cos (x) = \frac{200}{199} 0 + 0 cos (x) > \frac{200}{199} + + +

Identifique os intervalos que satisfaçam à condição necessária:

< 0

0 < cos (x) < \frac{200}{199}

0 < cos (x) < \frac{200}{199}

a < u < b

então

a < u and u < b

0 < cos (x) and cos (x) < \frac{200}{199}

0 < cos (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

0 < cos (x)

Trocar lados

cos (x) > 0

Para

cos (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

então

- arccos (a) + 2 πn < x < arccos (a) + 2 πn

- arccos (0) + 2 πn < x < arccos (0) + 2 πn

Simplificar

- arccos (0) : - \frac{π}{2}

- arccos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= - \frac{π}{2}

Simplificar

arccos (0) : \frac{π}{2}

arccos (0)

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arccos (0) = \frac{π}{2}

x - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arccos (x) π \frac{5 π}{6} \frac{3 π}{4} \frac{2 π}{3} \frac{π}{2} \frac{π}{3} \frac{π}{4} \frac{π}{6} 0 arccos (x) 18 0^{\circ} 15 0^{\circ} 13 5^{\circ} 12 0^{\circ} 9 0^{\circ} 6 0^{\circ} 4 5^{\circ} 3 0^{\circ} 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

cos (x) < \frac{200}{199} :

Verdadeiro para todo

x \in R

cos (x) < \frac{200}{199}

Imagem de

cos (x) : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Definição de imagem de função

A imagem da função básica

cos

- 1 \leq cos (x) \leq 1

- 1 \leq cos (x) \leq 1

cos (x) < \frac{200}{199} and - 1 \leq cos (x) \leq 1 : - 1 \leq cos (x) \leq 1

Considere

y = cos (x)

Combinar os intervalos

y < \frac{200}{199} and - 1 \leq y \leq 1

Junte intervalos que se sobrepoem

y < \frac{200}{199} and - 1 \leq y \leq 1

A interseção de dois intervalos é o conjunto de números que está em ambos os intervalos

y < \frac{200}{199}

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Verdadeiro para todo x

Verdadeiro para todo x \in R

Combinar os intervalos

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn and Verdadeiro para todo x \in R

Junte intervalos que se sobrepoem

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Exemplos populares

sin(x)-sqrt(3)cos(x)<1

sin (x) - 3 cos (x) < 1

(cos(x)(1+tan(x)))/(cos(x)(1-tan(x)))>0

\frac{cos ( x ) ( 1 + tan ( x ) )}{cos ( x ) ( 1 - tan ( x ) )} > 0

sin((pix)/2)> 1/2

sin (\frac{π x}{2}) > \frac{1}{2}

sin(x)> 1/(sin(x))

sin (x) > \frac{1}{sin ( x )}

<=-1tan(x/2-pi/3)<= sqrt(3)

\leq - 1 tan (\frac{x}{2} - \frac{π}{3}) \leq 3