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Popolare Trigonometria >

sin(x)> 1/(sin(x))

Soluzione

sin (x) > \frac{1}{sin ( x )}

Soluzione

π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Notazione dell’intervallo

(π + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, 2 π + 2 πn)

Decimale

3.14159 \dots + 2 πn < x < 4.71238 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < x < 6.28318 \dots + 2 πn

Fasi della soluzione

sin (x) > \frac{1}{sin ( x )}

Sia:

u = sin (x)

u > \frac{1}{u}

u > \frac{1}{u} : - 1 < u < 0 or u > 1

u > \frac{1}{u}

Riscrivere in forma standard

u > \frac{1}{u}

Sottrarre

\frac{1}{u}

da entrambi i lati

u - \frac{1}{u} > \frac{1}{u} - \frac{1}{u}

Semplificare

u - \frac{1}{u} > 0

Semplifica

u - \frac{1}{u} : \frac{u ^{2} - 1}{u}

u - \frac{1}{u}

Converti l'elemento in frazione:

u = \frac{uu}{u}

= \frac{uu}{u} - \frac{1}{u}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{uu - 1}{u}

uu - 1 = u^{2} - 1

uu - 1

uu = u^{2}

uu

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= u^{2}

= u^{2} - 1

= \frac{u ^{2} - 1}{u}

\frac{u ^{2} - 1}{u} > 0

\frac{u ^{2} - 1}{u} > 0

Fattorizza

\frac{u ^{2} - 1}{u} : \frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u}

\frac{u ^{2} - 1}{u}

Fattorizza

u^{2} - 1 : (u + 1) (u - 1)

u^{2} - 1

Riscrivi

1

come

1^{2}

= u^{2} - 1^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

u^{2} - 1^{2} = (u + 1) (u - 1)

= (u + 1) (u - 1)

= \frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u}

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} > 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

\frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u}

Trova i segni di

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 < 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 < 0 - 1

Semplificare

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u + 1 > 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u + 1 - 1 > 0 - 1

Semplificare

u > - 1

u > - 1

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Trova i segni di

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trova i punti singolari

Trovare gli zeri del denominatore

u : u = 0

Riassumere in una tabella:

u + 1 u - 1 u \frac{( u + 1 ) ( u - 1 )}{u} u < - 1 - - - - u = - 1 0 - - 0 - 1 < u < 0 + - - + u = 0 + - 0 “ N o n d e f ini t o “ 0 < u < 1 + - + - u = 1 + 0 + 0 u > 1 + + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

- 1 < u < 0 or u > 1

- 1 < u < 0 or u > 1

- 1 < u < 0 or u > 1

Sostituire indietro

u = sin (x)

- 1 < sin (x) < 0 or sin (x) > 1

- 1 < sin (x) < 0 : π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

- 1 < sin (x) < 0

a < u < b

allora

a < u and u < b

- 1 < sin (x) and sin (x) < 0

- 1 < sin (x) : - \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 < sin (x)

Scambia i lati

sin (x) > - 1

Per

sin (x) > a

, se

- 1 \leq a < 1

allora

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- 1) + 2 πn < x < π - arcsin (- 1) + 2 πn

Semplificare

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

Semplificare

π - arcsin (- 1) : \frac{3 π}{2}

π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Usare la proprietà seguente:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= π - (- \frac{π}{2})

Semplificare

π - (- \frac{π}{2})

Applicare la regola

- (- a) = a

= π + \frac{π}{2}

Converti l'elemento in frazione:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + π}{2}

Aggiungi elementi simili:

2 π + π = 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Per

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Semplificare

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Semplificare

- π + 2 πn < x < 2 πn

Combina gli intervalli

- \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn and - π + 2 πn < x < 2 πn

Unire gli intervalli sovrapposti

π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

sin (x) > 1 :

Falso per tutti

x \in R

sin (x) > 1

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per x \in R

Falso per tutti x \in R

Combina gli intervalli

(π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn) or Falso per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

π + 2 πn < x < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < 2 π + 2 πn

Esempi popolari

<=-1tan(x/2-pi/3)<= sqrt(3)

2sin(x)cos(x)>= (sqrt(3))/2

(sin(2θ))/2 <= 0.451

cot((3pi+x)/2)<= 1

cos(2x+30)> 1/2 ,0<= x<= 180