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Populaire Trigonométrie >

cos^2(x)+sin(x)+1>= 0

Solution

cos^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

Solution

Vrai pour toute x \in R

La notation des intervalles

(- \infty, \infty)

étapes des solutions

cos^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

Utiliser les identités suivantes:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

Par conséquent

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) + sin (x) + 1 \geq 0

Simplifier

sin (x) - sin^{2} (x) + 2 \geq 0

Soit :

u = sin (x)

u - u^{2} + 2 \geq 0

u - u^{2} + 2 \geq 0 : - 1 \leq u \leq 2

u - u^{2} + 2 \geq 0

Factoriser

u - u^{2} + 2 : - (u + 1) (u - 2)

u - u^{2} + 2

Factoriser le terme commun

- 1

= - (u^{2} - u - 2)

Factoriser

u^{2} - u - 2 : (u + 1) (u - 2)

u^{2} - u - 2

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c

= u^{2} - u - 2

Décomposer l'expression en groupes

u^{2} - u - 2

Définition

Facteurs de

2 : 1, 2

2

Diviseurs (Facteurs)

Trouver les facteurs premiers de

2 : 2

2

2

est un nombre premier, par conséquent aucune factorisation n'est possible

= 2

Ajouter 1

1

Les facteurs de

2

1, 2

Facteurs négatifs de

2 : - 1, - 2

Multiplier les facteurs par

- 1

pour obtenir des facteurs négatifs

- 1, - 2

Pour chaque deux facteurs tels que

u * v = - 2,

vérifier si

u + v = - 1

Vérifier

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

vraiVérifier

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Faux

u = 1, v = - 2

Grouper dans

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

= (u^{2} + u) + (- 2 u - 2)

Factoriser

u

depuis

u^{2} + u : u (u + 1)

u^{2} + u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= uu + u

Factoriser le terme commun

u

= u (u + 1)

Factoriser

- 2

depuis

- 2 u - 2 : - 2 (u + 1)

- 2 u - 2

Factoriser le terme commun

- 2

= - 2 (u + 1)

= u (u + 1) - 2 (u + 1)

Factoriser le terme commun

u + 1

= (u + 1) (u - 2)

= - (u + 1) (u - 2)

- (u + 1) (u - 2) \geq 0

Multiplier les deux côtés par

- 1

(inverser l'inégalité)

(- (u + 1) (u - 2)) (- 1) \leq 0 \cdot (- 1)

Simplifier

(u + 1) (u - 2) \leq 0

Identifier les intervalles

Trouver les signes des facteurs de

(u + 1) (u - 2)

Trouver les signes de

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 < 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 < 0 - 1

Simplifier

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Déplacer

1

vers la droite

u + 1 > 0

Soustraire

1

des deux côtés

u + 1 - 1 > 0 - 1

Simplifier

u > - 1

u > - 1

Trouver les signes de

u - 2

u - 2 = 0 : u = 2

u - 2 = 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 = 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 = 0 + 2

Simplifier

u = 2

u = 2

u - 2 < 0 : u < 2

u - 2 < 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 < 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 < 0 + 2

Simplifier

u < 2

u < 2

u - 2 > 0 : u > 2

u - 2 > 0

Déplacer

2

vers la droite

u - 2 > 0

Ajouter

2

aux deux côtés

u - 2 + 2 > 0 + 2

Simplifier

u > 2

u > 2

Récapituler dans un tableau:

u + 1 u - 2 (u + 1) (u - 2) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < 2 + - - u = 2 + 00 u > 2 + + +

Identifier les intervalles qui répondent à la conditions requise :

\leq 0

u = - 1 or - 1 < u < 2 or u = 2

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

- 1 \leq u < 2 or u = 2

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

u = - 1

- 1 < u < 2

- 1 \leq u < 2

L'union de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans l'un ou l'autre des intervalles

- 1 \leq u < 2

u = 2

- 1 \leq u \leq 2

- 1 \leq u \leq 2

- 1 \leq u \leq 2

- 1 \leq u \leq 2

Remplacer

u = sin (x)

- 1 \leq sin (x) \leq 2

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

- 1 \leq sin (x) and sin (x) \leq 2

- 1 \leq sin (x) :

Vrai pour toute

x \in R

- 1 \leq sin (x)

Transposer les termes des côtés

sin (x) \geq - 1

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \geq - 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \geq - 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

sin (x) \leq 2 :

Vrai pour toute

x \in R

sin (x) \leq 2

Plage de

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Définition de la plage de fonction

La plage de la base de la fonction

sin

est

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \leq 2 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Soit

y = sin (x)

Réunir les intervalles

y \leq 2 and - 1 \leq y \leq 1

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

y \leq 2 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

y \leq 2

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

- 1 \leq y \leq 1

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

Réunir les intervalles

Vrai pour toute x \in R and Vrai pour toute x \in R

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

Vrai pour toute x \in R and Vrai pour toute x \in R

L'intersection de deux intervalles est l'ensemble des nombres compris dans les deux intervalles

Vrai pour toute

x \in R

Vrai pour toute

x \in R

Vrai pour toute x \in R

Vrai pour toute x

Vrai pour toute x \in R

Exemples populaires

sin(3x)-(sqrt(2))/2 >= 0

cos(2x)<cos(4x)

(sin(x))/(4cos^2(x)-1)<0

(arctan(x))>0

tan(θ)<0,sin(θ)>0