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Populaire Trigonométrie >

6.5<= 5+3sin(30t)

Solution

6.5 \leq 5 + 3 sin (30 t)

Solution

\frac{π}{180} + \frac{π}{15} n \leq t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

La notation des intervalles

[\frac{π}{180} + \frac{π}{15} n, \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n]

Décimale

0.01745 \dots + \frac{π}{15} n \leq t \leq 0.08726 \dots + \frac{π}{15} n

étapes des solutions

6.5 \leq 5 + 3 sin (30 t)

Transposer les termes des côtés

5 + 3 sin (30 t) \geq 6.5

Déplacer

5

vers la droite

5 + 3 sin (30 t) \geq 6.5

Soustraire

5

des deux côtés

5 + 3 sin (30 t) - 5 \geq 6.5 - 5

Simplifier

3 sin (30 t) \geq 1.5

3 sin (30 t) \geq 1.5

Diviser les deux côtés par

3

3 sin (30 t) \geq 1.5

Diviser les deux côtés par

3

\frac{3 sin ( 30 t )}{3} \geq \frac{1.5}{3}

Simplifier

sin (30 t) \geq 0.5

sin (30 t) \geq 0.5

Pour

sin (x) \geq a

, si

- 1 < a < 1

alors

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 30 t \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn

a \leq u \leq b

alors

a \leq u and u \leq b

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 30 t and 30 t \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 30 t : t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 30 t

Transposer les termes des côtés

30 t \geq arcsin (0.5) + 2 πn

Simplifier

arcsin (0.5) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (0.5) + 2 πn

arcsin (0.5) = \frac{π}{6}

arcsin (0.5)

= arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + 2 πn

30 t \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

30

30 t \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

30

\frac{30 t}{30} \geq \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

Simplifier

\frac{30 t}{30} \geq \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

Simplifier

\frac{30 t}{30} : t

\frac{30 t}{30}

Diviser les nombres :

\frac{30}{30} = 1

= t

Simplifier

\frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30} : \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

\frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

\frac{\frac{π}{6}}{30} = \frac{π}{180}

\frac{\frac{π}{6}}{30}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 30}

Multiplier les nombres :

6 \cdot 30 = 180

= \frac{π}{180}

\frac{2 πn}{30} = \frac{πn}{15}

\frac{2 πn}{30}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{πn}{15}

= \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

30 t \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn : t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

30 t \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn

Simplifier

π - arcsin (0.5) + 2 πn : π - \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (0.5) + 2 πn

arcsin (0.5) = \frac{π}{6}

arcsin (0.5)

= arcsin (\frac{1}{2})

Utiliser l'identité triviale suivante:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6}

= π - \frac{π}{6} + 2 πn

30 t \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

30

30 t \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Diviser les deux côtés par

30

\frac{30 t}{30} \leq \frac{π}{30} - \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

Simplifier

\frac{30 t}{30} \leq \frac{π}{30} - \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

Simplifier

\frac{30 t}{30} : t

\frac{30 t}{30}

Diviser les nombres :

\frac{30}{30} = 1

= t

Simplifier

\frac{π}{30} - \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30} : \frac{π}{30} - \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

\frac{π}{30} - \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

\frac{\frac{π}{6}}{30} = \frac{π}{180}

\frac{\frac{π}{6}}{30}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 30}

Multiplier les nombres :

6 \cdot 30 = 180

= \frac{π}{180}

\frac{2 πn}{30} = \frac{πn}{15}

\frac{2 πn}{30}

Annuler le facteur commun :

2

= \frac{πn}{15}

= \frac{π}{30} - \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \leq \frac{π}{30} - \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \leq \frac{π}{30} - \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

Simplifier

\frac{π}{30} - \frac{π}{180} : \frac{π}{36}

\frac{π}{30} - \frac{π}{180}

Plus petit commun multiple de

30, 180 : 180

30, 180

Plus petit commun multiple (PPCM)

Factorisation première de

30 : 2 \cdot 3 \cdot 5

30

30

divisée par

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 15

15

divisée par

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 3 \cdot 5

Factorisation première de

180 : 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

180

180

divisée par

2180 = 90 \cdot 2

= 2 \cdot 90

90

divisée par

290 = 45 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 45

45

divisée par

345 = 15 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15

15

divisée par

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sont tous des nombres premiers, par conséquent aucune autre factorisation n'est possible

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiplier chaque facteur qui apparait le plus grand nombre de fois dans

30

180

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiplier les nombres :

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180

= 180

Ajuster des fractions sur la base du PPCM

Multiplier chaque numérateur par le même montant nécessaire pour multiplier son

dénominateur correspondant pour le mettre au PPCM

180

Pour

\frac{π}{30} :

multiplier le dénominateur et le numérateur par

6

\frac{π}{30} = \frac{π 6}{30 \cdot 6} = \frac{π 6}{180}

= \frac{π 6}{180} - \frac{π}{180}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{180}

Additionner les éléments similaires :

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{180}

Annuler le facteur commun :

5

= \frac{π}{36}

t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

Réunir les intervalles

t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15} and t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

Faire fusionner les intervalles qui se chevauchent

\frac{π}{180} + \frac{π}{15} n \leq t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

Exemples populaires

solvefor x,2*cos(4x)<= 5

2cos^2(x)+cos(x)-1<= 0

sin(x/3)<(sqrt(3))/2

tan(x)>=-(sqrt(3))/3

(2sin(2x)+1/2)<= 1/2