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6.5<= 5+3sin(30t)

Solução

6.5 \leq 5 + 3 sin (30 t)

Solução

\frac{π}{180} + \frac{π}{15} n \leq t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

Notação de intervalo

[\frac{π}{180} + \frac{π}{15} n, \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n]

Decimal

0.01745 \dots + \frac{π}{15} n \leq t \leq 0.08726 \dots + \frac{π}{15} n

Passos da solução

6.5 \leq 5 + 3 sin (30 t)

Trocar lados

5 + 3 sin (30 t) \geq 6.5

Mova

5

para o lado direito

5 + 3 sin (30 t) \geq 6.5

Subtrair

5

de ambos os lados

5 + 3 sin (30 t) - 5 \geq 6.5 - 5

Simplificar

3 sin (30 t) \geq 1.5

3 sin (30 t) \geq 1.5

Dividir ambos os lados por

3

3 sin (30 t) \geq 1.5

Dividir ambos os lados por

3

\frac{3 sin ( 30 t )}{3} \geq \frac{1.5}{3}

Simplificar

sin (30 t) \geq 0.5

sin (30 t) \geq 0.5

Para

sin (x) \geq a

, se

- 1 < a < 1

então

arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 30 t \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn

a \leq u \leq b

então

a \leq u and u \leq b

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 30 t and 30 t \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 30 t : t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

arcsin (0.5) + 2 πn \leq 30 t

Trocar lados

30 t \geq arcsin (0.5) + 2 πn

Simplificar

arcsin (0.5) + 2 πn : \frac{π}{6} + 2 πn

arcsin (0.5) + 2 πn

arcsin (0.5) = \frac{π}{6}

arcsin (0.5)

= arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6} + 2 πn

30 t \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

30

30 t \geq \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

30

\frac{30 t}{30} \geq \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

Simplificar

\frac{30 t}{30} \geq \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

Simplificar

\frac{30 t}{30} : t

\frac{30 t}{30}

Dividir:

\frac{30}{30} = 1

= t

Simplificar

\frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30} : \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

\frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

\frac{\frac{π}{6}}{30} = \frac{π}{180}

\frac{\frac{π}{6}}{30}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 30}

Multiplicar os números:

6 \cdot 30 = 180

= \frac{π}{180}

\frac{2 πn}{30} = \frac{πn}{15}

\frac{2 πn}{30}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{πn}{15}

= \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

30 t \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn : t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

30 t \leq π - arcsin (0.5) + 2 πn

Simplificar

π - arcsin (0.5) + 2 πn : π - \frac{π}{6} + 2 πn

π - arcsin (0.5) + 2 πn

arcsin (0.5) = \frac{π}{6}

arcsin (0.5)

= arcsin (\frac{1}{2})

Utilizar a seguinte identidade trivial:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= \frac{π}{6}

= π - \frac{π}{6} + 2 πn

30 t \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

30

30 t \leq π - \frac{π}{6} + 2 πn

Dividir ambos os lados por

30

\frac{30 t}{30} \leq \frac{π}{30} - \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

Simplificar

\frac{30 t}{30} \leq \frac{π}{30} - \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

Simplificar

\frac{30 t}{30} : t

\frac{30 t}{30}

Dividir:

\frac{30}{30} = 1

= t

Simplificar

\frac{π}{30} - \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30} : \frac{π}{30} - \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

\frac{π}{30} - \frac{\frac{π}{6}}{30} + \frac{2 πn}{30}

\frac{\frac{π}{6}}{30} = \frac{π}{180}

\frac{\frac{π}{6}}{30}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{6 \cdot 30}

Multiplicar os números:

6 \cdot 30 = 180

= \frac{π}{180}

\frac{2 πn}{30} = \frac{πn}{15}

\frac{2 πn}{30}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{πn}{15}

= \frac{π}{30} - \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \leq \frac{π}{30} - \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

t \leq \frac{π}{30} - \frac{π}{180} + \frac{πn}{15}

Simplificar

\frac{π}{30} - \frac{π}{180} : \frac{π}{36}

\frac{π}{30} - \frac{π}{180}

Mínimo múltiplo comum de

30, 180 : 180

30, 180

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Decomposição em fatores primos de

30 : 2 \cdot 3 \cdot 5

30

30

dividida por

230 = 15 \cdot 2

= 2 \cdot 15

15

dividida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 3 \cdot 5

Decomposição em fatores primos de

180 : 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

180

180

dividida por

2180 = 90 \cdot 2

= 2 \cdot 90

90

dividida por

290 = 45 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 45

45

dividida por

345 = 15 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 15

15

dividida por

315 = 5 \cdot 3

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

são números primos, portanto, não é possível fatorá-los mais

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiplique cada fator o maior número de vezes que ocorre ou em

30

ou em

180

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180

= 180

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{π}{30} :

multiplique o numerador e o denominador por

6

\frac{π}{30} = \frac{π 6}{30 \cdot 6} = \frac{π 6}{180}

= \frac{π 6}{180} - \frac{π}{180}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{180}

Somar elementos similares:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{180}

Eliminar o fator comum:

5

= \frac{π}{36}

t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

Combinar os intervalos

t \geq \frac{π}{180} + \frac{πn}{15} and t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

Junte intervalos que se sobrepoem

\frac{π}{180} + \frac{π}{15} n \leq t \leq \frac{π}{36} + \frac{π}{15} n

Exemplos populares

solvefor x,2*cos(4x)<= 5

so l v e f or x, 2 \cdot cos (4 x) \leq 5

2cos^2(x)+cos(x)-1<= 0

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 \leq 0

sin(x/3)<(sqrt(3))/2

sin (\frac{x}{3}) < \frac{3}{2}

tan(x)>=-(sqrt(3))/3

tan (x) \geq - \frac{3}{3}

(2sin(2x)+1/2)<= 1/2

(2 sin (2 x) + \frac{1}{2}) \leq \frac{1}{2}