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2sin^2(x)+sin(x)=1,-pi<= x<= pi

Solução

2 sin^{2} (x) + sin (x) = 1, - π \leq x \leq π

Solução

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = - \frac{π}{2}

Graus

x = 3 0^{\circ}, x = 15 0^{\circ}, x = - 9 0^{\circ}

Passos da solução

2 sin^{2} (x) + sin (x) = 1, - π \leq x \leq π

Usando o método de substituição

2 sin^{2} (x) + sin (x) = 1

Sea:

sin (x) = u

2 u^{2} + u = 1

2 u^{2} + u = 1 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

2 u^{2} + u = 1

Mova

1

para o lado esquerdo

2 u^{2} + u = 1

Subtrair

1

de ambos os lados

2 u^{2} + u - 1 = 1 - 1

Simplificar

2 u^{2} + u - 1 = 0

2 u^{2} + u - 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

2 u^{2} + u - 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = 2, b = 1, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 1 )}{2 \cdot 2}

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1) = 3

1^{2} - 4 \cdot 2 (- 1)

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 \cdot 2 (- 1)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 2 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 \cdot 2}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 \cdot 2}

Somar/subtrair:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Eliminar o fator comum:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2} : - 1

\frac{- 1 - 3}{2 \cdot 2}

Subtrair:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 2}

Multiplicar os números:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 4}{4}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Aplicar a regra

\frac{a}{a} = 1

= - 1

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Substituir na equação

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{1}{2}, sin (x) = - 1

sin (x) = \frac{1}{2}, - π \leq x \leq π : x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = \frac{1}{2}, - π \leq x \leq π

Soluções gerais para

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

x = \frac{π}{6} + 2 πn, x = \frac{5 π}{6} + 2 πn

Soluções para o intervalo

- π \leq x \leq π

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}

sin (x) = - 1, - π \leq x \leq π : x = - \frac{π}{2}

sin (x) = - 1, - π \leq x \leq π

Soluções gerais para

sin (x) = - 1

sin (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluções para o intervalo

- π \leq x \leq π

x = - \frac{π}{2}

Combinar toda as soluções

x = \frac{π}{6}, x = \frac{5 π}{6}, x = - \frac{π}{2}

Gráfico

Exemplos populares

cos^2(x)+sin(x)=1,0<= x<= 2pi

1+tan^2(x)=cot^2(x)

2-2sin^2(x)=-3cos(x)+2

4tan(θ)+7=0

arctan(x)+arctan(3x)+arctan(7x)=180