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Populaire Trigonométrie >

cosh(2x)=2cosh(x)-1

Solution

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

Solution

x = 0

Degrés

x = 0^{\circ}

étapes des solutions

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

Use the Hyperbolic identity:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 cosh (x) - 1

Use the Hyperbolic identity:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1 : x = 0

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

Multiplier les deux côtés par

2

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2

Simplifier

e^{2 x} + e^{- 2 x} = 2 (e^{x} + e^{- x}) - 2

Appliquer les règles des exposants

e^{2 x} + e^{- 2 x} = 2 (e^{x} + e^{- x}) - 2

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2} = 2 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - 2

(e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2} = 2 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - 2

Récrire l'équation avec

e^{x} = u

(u)^{2} + (u)^{- 2} = 2 (u + (u)^{- 1}) - 2

Résoudre

u^{2} + u^{- 2} = 2 (u + u^{- 1}) - 2 : u = 1

u^{2} + u^{- 2} = 2 (u + u^{- 1}) - 2

Redéfinir

u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 2 (u + \frac{1}{u}) - 2

Multiplier les deux côtés par

u^{2}

u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 2 (u + \frac{1}{u}) - 2

Multiplier les deux côtés par

u^{2}

u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

Simplifier

u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

Simplifier

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Additionner les nombres :

2 + 2 = 4

= u^{4}

Simplifier

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Annuler le facteur commun :

u^{2}

= 1

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

Développer

2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2} : 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

= 2 u^{2} (u + \frac{1}{u}) - 2 u^{2}

Développer

2 u^{2} (u + \frac{1}{u}) : 2 u^{3} + 2 u

2 u^{2} (u + \frac{1}{u})

Appliquer la loi de la distribution:

a (b + c) = ab + a c

a = 2 u^{2}, b = u, c = \frac{1}{u}

= 2 u^{2} u + 2 u^{2} \frac{1}{u}

= 2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Simplifier

2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2} : 2 u^{3} + 2 u

2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

2 u^{2} u = 2 u^{3}

2 u^{2} u

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Additionner les nombres :

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

2 \cdot \frac{1}{u} u^{2} = 2 u

2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 u ^{2}}{u}

Multiplier les nombres :

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 u ^{2}}{u}

Annuler le facteur commun :

u

= 2 u

= 2 u^{3} + 2 u

= 2 u^{3} + 2 u

= 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

Résoudre

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2} : u = 1

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

Déplacer

2 u^{2}

vers la gauche

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

Ajouter

2 u^{2}

aux deux côtés

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2} + 2 u^{2}

Simplifier

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

Déplacer

2 u

vers la gauche

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

Soustraire

2 u

des deux côtés

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3} + 2 u - 2 u

Simplifier

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

Déplacer

2 u^{3}

vers la gauche

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

Soustraire

2 u^{3}

des deux côtés

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 2 u^{3} - 2 u^{3}

Simplifier

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 0

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 0

Ecrire sous la forme standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Factoriser

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 1)

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

Utiliser le théorème de la racine rationnelle

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Les diviseurs de

a_{0} : 1,

Les diviseurs de

a_{n} : 1

Par conséquent, vérifier les nombres rationnels suivants :

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

est une racine de l'expression, donc factorise

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} - u^{2} + u - 1

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Quotient = u^{3}

Multiplier

u - 1

par

u^{3} : u^{4} - u^{3}

Soustraire

u^{4} - u^{3}

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

Par conséquent

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} : \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

- u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{- u ^{3}}{u} = - u^{2}

Quotient = - u^{2}

Multiplier

u - 1

par

- u^{2} : - u^{3} + u^{2}

Soustraire

- u^{3} + u^{2}

- u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = u^{2} - 2 u + 1

Par conséquent

\frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

= u^{3} - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Diviser les coefficients directeurs

u^{2} - 2 u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{u ^{2}}{u} = u

Quotient = u

Multiplier

u - 1

par

u : u^{2} - u

Soustraire

u^{2} - u

u^{2} - 2 u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = - u + 1

Par conséquent

\frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} - u^{2} + u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Diviser

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Diviser les coefficients directeurs

- u + 1

et le diviseur

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quotient = - 1

Multiplier

u - 1

par

- 1 : - u + 1

Soustraire

- u + 1

- u + 1

pour obtenir un nouveau reste

Reste = 0

Par conséquent

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} - u^{2} + u - 1

= u^{3} - u^{2} + u - 1

Factoriser

u^{3} - u^{2} + u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 1)

u^{3} - u^{2} + u - 1

= (u^{3} - u^{2}) + (u - 1)

Factoriser

u^{2}

depuis

u^{3} - u^{2} : u^{2} (u - 1)

u^{3} - u^{2}

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - u^{2}

Factoriser le terme commun

u^{2}

= u^{2} (u - 1)

= (u - 1) + u^{2} (u - 1)

Factoriser le terme commun

u - 1

= (u - 1) (u^{2} + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 1)

Redéfinir

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 1) = 0

En utilisant le principe du facteur zéro : Si

ab = 0

alors

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 1 = 0

Résoudre

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u - 1 = 0

Ajouter

1

aux deux côtés

u - 1 + 1 = 0 + 1

Simplifier

u = 1

u = 1

Résoudre

u^{2} + 1 = 0 :

Aucune solution pour

u \in R

u^{2} + 1 = 0

Déplacer

1

vers la droite

u^{2} + 1 = 0

Soustraire

1

des deux côtés

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Simplifier

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

x^{2}

ne peut pas être négative pour

x \in R

Aucune solution pour u \in R

La solution est

u = 1

u = 1

Vérifier les solutions

Trouver les points non définis (singularité):

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

u^{2} + u^{- 2}

et le comparer à zéro

Résoudre

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Appliquer la règle

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Prendre le(s) dénominateur(s) de

2 (u + u^{- 1}) - 2

et le comparer à zéro

u = 0

Les points suivants ne sont pas définis

u = 0

Combiner des points indéfinis avec des solutions :

u = 1

u = 1

Resubstituer

u = e^{x},

résoudre pour

x

Résoudre

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Appliquer les règles des exposants

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, alors

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Appliquer la loi des logarithmes:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Simplifier

ln (1) : 0

ln (1)

Appliquer la loi des logarithmes:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

x = 0

x = 0

Graphe

Exemples populaires

4cos(3x)=2

4 cos (3 x) = 2

4cos(2x)=4cos^2(x)-1

4 cos (2 x) = 4 cos^{2} (x) - 1

tan(8b)=cot(10b)

tan (8 b) = cot (10 b)

sec^2(2x)-2tan(2x)=0

sec^{2} (2 x) - 2 tan (2 x) = 0

((sin(θ))/(2cos(θ)))-1=0

(\frac{sin ( θ )}{2 cos ( θ )}) - 1 = 0