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Popolare Trigonometria >

cosh(2x)=2cosh(x)-1

Soluzione

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

Soluzione

x = 0

Gradi

x = 0^{\circ}

Fasi della soluzione

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cosh (2 x) = 2 cosh (x) - 1

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 cosh (x) - 1

Usa l'identità iperbolica:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1 : x = 0

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} - 1

Moltiplica entrambi i lati per

2

\frac{e ^{2 x} + e ^{- 2 x}}{2} \cdot 2 = 2 \cdot \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2

Semplificare

e^{2 x} + e^{- 2 x} = 2 (e^{x} + e^{- x}) - 2

Applica le regole dell'esponente

e^{2 x} + e^{- 2 x} = 2 (e^{x} + e^{- x}) - 2

Applica la regola degli esponenti:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{2 x} = (e^{x})^{2}, e^{- 2 x} = (e^{x})^{- 2}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2} = 2 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - 2

(e^{x})^{2} + (e^{x})^{- 2} = 2 (e^{x} + (e^{x})^{- 1}) - 2

Riscrivi l'equazione con

e^{x} = u

(u)^{2} + (u)^{- 2} = 2 (u + (u)^{- 1}) - 2

Risolvi

u^{2} + u^{- 2} = 2 (u + u^{- 1}) - 2 : u = 1

u^{2} + u^{- 2} = 2 (u + u^{- 1}) - 2

Affinare

u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 2 (u + \frac{1}{u}) - 2

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} = 2 (u + \frac{1}{u}) - 2

Moltiplica entrambi i lati per

u^{2}

u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

Semplificare

u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

Semplificare

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Semplificare

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

u^{2}

= 1

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

Espandere

2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2} : 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

2 (u + \frac{1}{u}) u^{2} - 2 u^{2}

= 2 u^{2} (u + \frac{1}{u}) - 2 u^{2}

Espandi

2 u^{2} (u + \frac{1}{u}) : 2 u^{3} + 2 u

2 u^{2} (u + \frac{1}{u})

Applicare la legge della distribuzione:

a (b + c) = ab + a c

a = 2 u^{2}, b = u, c = \frac{1}{u}

= 2 u^{2} u + 2 u^{2} \frac{1}{u}

= 2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Semplifica

2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2} : 2 u^{3} + 2 u

2 u^{2} u + 2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

2 u^{2} u = 2 u^{3}

2 u^{2} u

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u = u^{2 + 1}

= 2 u^{2 + 1}

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 2 u^{3}

2 \cdot \frac{1}{u} u^{2} = 2 u

2 \cdot \frac{1}{u} u^{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 u ^{2}}{u}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2 u ^{2}}{u}

Cancella il fattore comune:

u

= 2 u

= 2 u^{3} + 2 u

= 2 u^{3} + 2 u

= 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

Risolvi

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2} : u = 1

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

Spostare

2 u^{2}

a sinistra dell'equazione

u^{4} + 1 = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2}

Aggiungi

2 u^{2}

ad entrambi i lati

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u - 2 u^{2} + 2 u^{2}

Semplificare

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

Spostare

2 u

a sinistra dell'equazione

u^{4} + 1 + 2 u^{2} = 2 u^{3} + 2 u

Sottrarre

2 u

da entrambi i lati

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3} + 2 u - 2 u

Semplificare

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

Spostare

2 u^{3}

a sinistra dell'equazione

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u = 2 u^{3}

Sottrarre

2 u^{3}

da entrambi i lati

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 2 u^{3} - 2 u^{3}

Semplificare

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 0

u^{4} + 1 + 2 u^{2} - 2 u - 2 u^{3} = 0

Scrivi in forma standard

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1 = 0

Fattorizza

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 1)

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

Usa il teorema della radice razionale

a_{0} = 1, a_{n} = 1

I divisori of

a_{0} : 1,

I divisori di

a_{n} : 1

Quindi, controlla i seguenti numeri razionali:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

è una radice della seguente espressione, quindi il fattore è

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} - u^{2} + u - 1

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividere

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

and the divisor

u - 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Quoziente = u^{3}

Moltiplica

u - 1

per

u^{3} : u^{4} - u^{3}

Sottrarre

u^{4} - u^{3}

u^{4} - 2 u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

Quindi

\frac{u ^{4} - 2 u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividere

\frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} : \frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

and the divisor

u - 1 : \frac{- u ^{3}}{u} = - u^{2}

Quoziente = - u^{2}

Moltiplica

u - 1

per

- u^{2} : - u^{3} + u^{2}

Sottrarre

- u^{3} + u^{2}

- u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = u^{2} - 2 u + 1

Quindi

\frac{- u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

= u^{3} - u^{2} + \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1}

Dividere

\frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

u^{2} - 2 u + 1

and the divisor

u - 1 : \frac{u ^{2}}{u} = u

Quoziente = u

Moltiplica

u - 1

per

u : u^{2} - u

Sottrarre

u^{2} - u

u^{2} - 2 u + 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = - u + 1

Quindi

\frac{u ^{2} - 2 u + 1}{u - 1} = u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} - u^{2} + u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Dividere

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Dividi i principali coefficienti per il numeratore

- u + 1

and the divisor

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Quoziente = - 1

Moltiplica

u - 1

per

- 1 : - u + 1

Sottrarre

- u + 1

- u + 1

per ottenere un nuovo resto

Resto = 0

Quindi

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} - u^{2} + u - 1

= u^{3} - u^{2} + u - 1

Fattorizza

u^{3} - u^{2} + u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 1)

u^{3} - u^{2} + u - 1

= (u^{3} - u^{2}) + (u - 1)

Fattorizza

u^{2}

u^{3} - u^{2} : u^{2} (u - 1)

u^{3} - u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{3} = u u^{2}

= u u^{2} - u^{2}

Fattorizzare dal termine comune

u^{2}

= u^{2} (u - 1)

= (u - 1) + u^{2} (u - 1)

Fattorizzare dal termine comune

u - 1

= (u - 1) (u^{2} + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 1)

Affinare

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 1) = 0

Usando il Principio del Fattore Zero:

ab = 0

allora

a = 0

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 1 = 0

Risolvi

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

Risolvi

u^{2} + 1 = 0 :

Nessuna soluzione per

u \in R

u^{2} + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u^{2} + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

u^{2} + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

u^{2} = - 1

u^{2} = - 1

x^{2}

non può essere negativo per

x \in R

Nessuna soluzione per u \in R

La soluzione è

u = 1

u = 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

u^{2} + u^{- 2}

e confrontare con zero

Risolvi

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Applicare la regola

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

Prendere il denominatore (i) dell'

2 (u + u^{- 1}) - 2

e confrontare con zero

u = 0

I seguenti punti sono non definiti

u = 0

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = 1

u = 1

Sostituisci

u = e^{x},

risolvi per

x

Risolvi

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

Applica le regole dell'esponente

e^{x} = 1

f (x) = g (x)

, allora

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

Semplificare

ln (1) : 0

ln (1)

Applica la regola del logaritmo:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

x = 0

x = 0

Grafico

Esempi popolari

((sin(θ))/(2cos(θ)))-1=0