English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

tan^2(x)+tan(x)+cot(x)+cot^2(x)=4

Решение

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Решение

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Градусы

x = 4 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 110.90515 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 159.09484 \dots^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Шаги решения

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) = 4

Вычтите

4

с обеих сторон

tan^{2} (x) + tan (x) + cot (x) + cot^{2} (x) - 4 = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + tan (x) + tan^{2} (x)

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

tan (x) = \frac{1}{cot ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + (\frac{1}{cot ( x )})^{2}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2} = \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cot ( x )})^{2}

Примените правило возведения в степень:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cot ^{2} ( x )}

Примените правило

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

= - 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ( x )} + \frac{1}{cot ^{2} ( x )}

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Решитe подстановкой

- 4 + cot (x) + cot^{2} (x) + \frac{1}{cot ^{2} ( x )} + \frac{1}{cot ( x )} = 0

Допустим:

cot (x) = u

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Умножить на НОК

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u} = 0

Найдите наименьшее общее кратное

u^{2}, u : u^{2}

u^{2}, u

Наименьший Общий Кратный (НОК)

Вычислите выражение, состоящее из факторов, которые появляются либо в

u^{2}

либо

u

= u^{2}

Умножьте на НОК=

u^{2}

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

После упрощения получаем

- 4 u^{2} + u u^{2} + u^{2} u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} u^{2} + \frac{1}{u} u^{2} = 0 \cdot u^{2}

Упростите

u u^{2} : u^{3}

u u^{2}

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u u^{2} = u^{1 + 2}

= u^{1 + 2}

Добавьте числа:

1 + 2 = 3

= u^{3}

Упростите

u^{2} u^{2} : u^{4}

u^{2} u^{2}

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{2} u^{2} = u^{2 + 2}

= u^{2 + 2}

Добавьте числа:

2 + 2 = 4

= u^{4}

Упростите

\frac{1}{u ^{2}} u^{2} : 1

\frac{1}{u ^{2}} u^{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u ^{2}}

Отмените общий множитель:

u^{2}

= 1

Упростите

\frac{1}{u} u^{2} : u

\frac{1}{u} u^{2}

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u ^{2}}{u}

Умножьте:

1 \cdot u^{2} = u^{2}

= \frac{u ^{2}}{u}

Отмените общий множитель:

u

= u

Упростите

0 \cdot u^{2} : 0

0 \cdot u^{2}

Примените правило

0 \cdot a = 0

= 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Решить

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0 : u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

- 4 u^{2} + u^{3} + u^{4} + 1 + u = 0

Запишите в стандартной форме

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 = 0

Найдите множитель

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1 : (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Делители

a_{0} : 1,

Делители

a_{n} : 1

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Поделите

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

и делителя

u - 1 : \frac{u ^{4}}{u} = u^{3}

Частное = u^{3}

Умножьте

u - 1

на

u^{3} : u^{4} - u^{3}

Вычтите

u^{4} - u^{3}

из

u^{4} + u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

Поэтому

\frac{u ^{4} + u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Поделите

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

и делителя

u - 1 : \frac{2 u ^{3}}{u} = 2 u^{2}

Частное = 2 u^{2}

Умножьте

u - 1

на

2 u^{2} : 2 u^{3} - 2 u^{2}

Вычтите

2 u^{3} - 2 u^{2}

из

2 u^{3} - 4 u^{2} + u + 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = - 2 u^{2} + u + 1

Поэтому

\frac{2 u ^{3} - 4 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} + \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1}

Поделите

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} : \frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

- 2 u^{2} + u + 1

и делителя

u - 1 : \frac{- 2 u ^{2}}{u} = - 2 u

Частное = - 2 u

Умножьте

u - 1

на

- 2 u : - 2 u^{2} + 2 u

Вычтите

- 2 u^{2} + 2 u

из

- 2 u^{2} + u + 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = - u + 1

Поэтому

\frac{- 2 u ^{2} + u + 1}{u - 1} = - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u + \frac{- u + 1}{u - 1}

Поделите

\frac{- u + 1}{u - 1} : \frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

Разделите старшие коэффициенты числителя

- u + 1

и делителя

u - 1 : \frac{- u}{u} = - 1

Частное = - 1

Умножьте

u - 1

на

- 1 : - u + 1

Вычтите

- u + 1

из

- u + 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{- u + 1}{u - 1} = - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

= u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

коэффициент

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1 : (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

Используйте теорему о рациональных корнях

a_{0} = 1, a_{n} = 1

Делители

a_{0} : 1,

Делители

a_{n} : 1

Поэтому проверьте следующие рациональные числа:

\pm \frac{1}{1}

\frac{1}{1}

является корнем выражения, поэтому вынесите из него

u - 1

= (u - 1) \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + 3 u + 1

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{u ^{3}}{u} = u^{2}

Частное = u^{2}

Умножьте

u - 1

на

u^{2} : u^{3} - u^{2}

Вычтите

u^{3} - u^{2}

из

u^{3} + 2 u^{2} - 2 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 3 u^{2} - 2 u - 1

Поэтому

\frac{u ^{3} + 2 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

= u^{2} + \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} : \frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Разделите старшие коэффициенты числителя

3 u^{2} - 2 u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{3 u ^{2}}{u} = 3 u

Частное = 3 u

Умножьте

u - 1

на

3 u : 3 u^{2} - 3 u

Вычтите

3 u^{2} - 3 u

из

3 u^{2} - 2 u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = u - 1

Поэтому

\frac{3 u ^{2} - 2 u - 1}{u - 1} = 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

= u^{2} + 3 u + \frac{u - 1}{u - 1}

Поделите

\frac{u - 1}{u - 1} : \frac{u - 1}{u - 1} = 1

Разделите старшие коэффициенты числителя

u - 1

и делителя

u - 1 : \frac{u}{u} = 1

Частное = 1

Умножьте

u - 1

на

1 : u - 1

Вычтите

u - 1

из

u - 1

, чтобы получить новый остаток

Остаток = 0

Поэтому

\frac{u - 1}{u - 1} = 1

= u^{2} + 3 u + 1

= u^{2} + 3 u + 1

= (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

= (u - 1) (u - 1) (u^{2} + 3 u + 1)

Уточнить

= (u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1)

(u - 1)^{2} (u^{2} + 3 u + 1) = 0

Использование принципа нулевого множителя:

Если

ab = 0

то

a = 0

или

b = 0

u - 1 = 0 or u^{2} + 3 u + 1 = 0

Решить

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Переместите

1

вправо

u - 1 = 0

Добавьте

1

к обеим сторонам

u - 1 + 1 = 0 + 1

После упрощения получаем

u = 1

u = 1

Решить

u^{2} + 3 u + 1 = 0 : u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Решите с помощью квадратичной формулы

u^{2} + 3 u + 1 = 0

Формула квадратного уравнения:

Для

a = 1, b = 3, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 5

3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Перемножьте числа:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 3^{2} - 4

3^{2} = 9

= 9 - 4

Вычтите числа:

9 - 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 5}{2 \cdot 1}

Разделите решения

u_{1} = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

u = \frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 + 5}{2}

\frac{- 3 + 5}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 + 5}{2}

u = \frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1} : \frac{- 3 - 5}{2}

\frac{- 3 - 5}{2 \cdot 1}

Перемножьте числа:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 3 - 5}{2}

Решением квадратного уравнения являются:

u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Решениями являются

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Проверьте решения

Найти неопределенные (сингулярные) точки:

u = 0

Возьмите знаменатель(и)

- 4 + u + u^{2} + \frac{1}{u ^{2}} + \frac{1}{u}

и сравните с нулем

Решить

u^{2} = 0 : u = 0

u^{2} = 0

Примените правило

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

Следующие точки не определены

u = 0

Объедините неопределенные точки с решениями:

u = 1, u = \frac{- 3 + 5}{2}, u = \frac{- 3 - 5}{2}

Делаем обратную замену

u = cot (x)

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1, cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}, cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = 1 : x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = 1

Общие решения для

cot (x) = 1

cot (x)

таблица периодичности с циклом

πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Примените обратные тригонометрические свойства

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

Общие решения для

cot (x) = \frac{- 3 + 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2} : x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Примените обратные тригонометрические свойства

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

Общие решения для

cot (x) = \frac{- 3 - 5}{2}

cot (x) = - a \Rightarrow x = arccot (- a) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Объедините все решения

x = \frac{π}{4} + πn, x = arccot (\frac{- 3 + 5}{2}) + πn, x = arccot (\frac{- 3 - 5}{2}) + πn

Покажите решения в десятичной форме

x = \frac{π}{4} + πn, x = 1.93566 \dots + πn, x = 2.77672 \dots + πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры