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beweisen (1+csc(x))(1-sin(x))=cot(x)cos(x)

Lösung

beweisen

(1 + csc (x)) (1 - sin (x)) = cot (x) cos (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

(1 + csc (x)) (1 - sin (x)) = cot (x) cos (x)

Manipuliere die linke Seite

(1 + csc (x)) (1 - sin (x))

Drücke mit sin, cos aus

(1 + csc (x)) (1 - sin (x))

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (1 + \frac{1}{sin ( x )}) (1 - sin (x))

Vereinfache

(1 + \frac{1}{sin ( x )}) (1 - sin (x)) : \frac{( sin ( x ) + 1 ) ( 1 - sin ( x ) )}{sin ( x )}

(1 + \frac{1}{sin ( x )}) (1 - sin (x))

Füge

1 + \frac{1}{sin ( x )}

zusammen:

\frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

1 + \frac{1}{sin ( x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{1}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) + 1}{sin ( x )} (- sin (x) + 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( sin ( x ) + 1 ) ( 1 - sin ( x ) )}{sin ( x )}

= \frac{( sin ( x ) + 1 ) ( 1 - sin ( x ) )}{sin ( x )}

= \frac{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{( 1 + sin ( x ) ) ( 1 - sin ( x ) )}{sin ( x )}

Multipliziere aus

(1 + sin (x)) (1 - sin (x)) : 1 - sin^{2} (x)

(1 + sin (x)) (1 - sin (x))

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = 1, b = sin (x)

= 1^{2} - sin^{2} (x)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

cos (x) cot (x)

cos (x) cot (x)

= cot (x) cos (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e arcsec (x) = \frac{1}{sec ( x )}

p ro v e cos (4 x) cos (2 x) = cos^{2} (3 x) - cos^{2} (x)

p ro v e cos (4 x) - sin (4 x) = 1 - 2 sin (2 x)

p ro v e cos (x) tan^{3} (x) = sin (x) tan^{2} (x)

p ro v e sin^{2} (0) = 4 (cos (- 0) - 1)