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beweisen sin^2(α)+sin^2(α)tan^2(α)=tan^2(α)

Lösung

beweisen

sin^{2} (α) + sin^{2} (α) tan^{2} (α) = tan^{2} (α)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (α) + sin^{2} (α) tan^{2} (α) = tan^{2} (α)

Manipuliere die linke Seite

sin^{2} (α) + sin^{2} (α) tan^{2} (α)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin^{2} (α) + sin^{2} (α) tan^{2} (α)

Verwende die Pythagoreische Identität:

tan^{2} (x) + 1 = sec^{2} (x)

tan^{2} (x) = sec^{2} (x) - 1

= sin^{2} (α) + sin^{2} (α) (sec^{2} (α) - 1)

Vereinfache

sin^{2} (α) + sin^{2} (α) (sec^{2} (α) - 1) : sin^{2} (α) sec^{2} (α)

sin^{2} (α) + sin^{2} (α) (sec^{2} (α) - 1)

Multipliziere aus

sin^{2} (α) (sec^{2} (α) - 1) : sin^{2} (α) sec^{2} (α) - sin^{2} (α)

sin^{2} (α) (sec^{2} (α) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = sin^{2} (α), b = sec^{2} (α), c = 1

= sin^{2} (α) sec^{2} (α) - sin^{2} (α) \cdot 1

= sin^{2} (α) sec^{2} (α) - 1 \cdot sin^{2} (α)

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (α) = sin^{2} (α)

= sin^{2} (α) sec^{2} (α) - sin^{2} (α)

= sin^{2} (α) + sin^{2} (α) sec^{2} (α) - sin^{2} (α)

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (α) - sin^{2} (α) = 0

= sin^{2} (α) sec^{2} (α)

= sin^{2} (α) sec^{2} (α)

= sin^{2} (α) sec^{2} (α)

Drücke mit sin, cos aus

sec^{2} (α) sin^{2} (α)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (\frac{1}{cos ( α )})^{2} sin^{2} (α)

Vereinfache

(\frac{1}{cos ( α )})^{2} sin^{2} (α) : \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

(\frac{1}{cos ( α )})^{2} sin^{2} (α)

(\frac{1}{cos ( α )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( α )}

(\frac{1}{cos ( α )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( α )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( α )} sin^{2} (α)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Multipliziere:

1 \cdot sin^{2} (α) = sin^{2} (α)

= \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

= \frac{sin ^{2} ( α )}{cos ^{2} ( α )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{sin ( α )}{cos ( α )} \cdot \frac{sin ( α )}{cos ( α )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( α ) tan ( α )}{cos ( α )}

= tan (α) \frac{sin ( α )}{cos ( α )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (α) tan (α)

Vereinfache

tan (α) tan (α) : tan^{2} (α)

tan (α) tan (α)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (α) tan (α) = tan^{1 + 1} (α)

= tan^{1 + 1} (α)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (α)

tan^{2} (α)

tan^{2} (α)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos (7 5^{\circ}) = \frac{1 + cos ( 15 0 ^{\circ} )}{2}

p ro v e cos (7 x) - cos (3 x) = - 2 sin (5 x) sin (2 x)

p ro v e \frac{sec ^{2} ( a )}{2 - sec ^{2} ( a )} = sec (2 a)

p ro v e cot (a) + tan (a) = csc (a) sec (a)

p ro v e sin (a + b) = sin (a) + sin (b)