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beweisen sin^2(x)+1/(sec^2(x))=sin(x)csc(x)

Lösung

beweisen

sin^{2} (x) + \frac{1}{sec ^{2} ( x )} = sin (x) csc (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) + \frac{1}{sec ^{2} ( x )} = sin (x) csc (x)

Manipuliere die linke Seite

sin^{2} (x) + \frac{1}{sec ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1}{sec ^{2} ( x )} + sin^{2} (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} + sin^{2} (x)

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} + sin^{2} (x) : cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

\frac{1}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} + sin^{2} (x)

\frac{1}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}} = cos^{2} (x)

\frac{1}{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{1}{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{cos ^{2} ( x )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= cos^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1

= 1

Manipuliere die rechte Seite

sin (x) csc (x)

Drücke mit sin, cos aus

csc (x) sin (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )} sin (x)

\frac{1}{sin ( x )} sin (x) = 1

\frac{1}{sin ( x )} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= 1

= 1

= 1

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (x) = 1 - cos (x)

p ro v e \frac{sec ( 2 x ) + 1}{tan ( 2 x )} = cot (x)

p ro v e cos^{2} (6 θ) - sin^{2} (6 θ) = cos (12 θ)

p ro v e \frac{cos ( β )}{tan ( β )} = csc (β) - sin (β)

p ro v e cos (3 t) = 4 cos^{3} (t) - 3 cos (t)