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beweisen (sec(2x)+1)/(tan(2x))=cot(x)

Lösung

beweisen

\frac{sec ( 2 x ) + 1}{tan ( 2 x )} = cot (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ( 2 x ) + 1}{tan ( 2 x )} = cot (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ( 2 x ) + 1}{tan ( 2 x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{1 + sec ( 2 x )}{tan ( 2 x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 x )}}{tan ( 2 x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 x )}}{\frac{s i n ( 2 x )}{c o s ( 2 x )}}

Vereinfache

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 x )}}{\frac{s i n ( 2 x )}{c o s ( 2 x )}} : \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

\frac{1 + \frac{1}{c o s ( 2 x )}}{\frac{s i n ( 2 x )}{c o s ( 2 x )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{( 1 + \frac{1}{c o s ( 2 x )} ) cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Füge

1 + \frac{1}{cos ( 2 x )}

zusammen:

\frac{cos ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

1 + \frac{1}{cos ( 2 x )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )} + \frac{1}{cos ( 2 x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (2 x) = cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )}

= \frac{\frac{c o s ( 2 x ) + 1}{c o s ( 2 x )} cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Multipliziere

\frac{cos ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} cos (2 x) : cos (2 x) + 1

\frac{cos ( 2 x ) + 1}{cos ( 2 x )} cos (2 x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( cos ( 2 x ) + 1 ) cos ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (2 x)

= cos (2 x) + 1

= \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( 2 x ) + 1}{sin ( 2 x )}

= \frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 + cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 + cos ( 2 x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= \frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Vereinfache

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2 sin ( x ) cos ( x )} : \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + 2 cos ^{2} ( x ) - 1}{2 sin ( x ) cos ( x )}

1 + 2 cos^{2} (x) - 1 = 2 cos^{2} (x)

1 + 2 cos^{2} (x) - 1

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 cos^{2} (x)

= \frac{2 cos ^{2} ( x )}{2 sin ( x ) cos ( x )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{cos ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = cot (x)

= cot (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cos^{2} (6 θ) - sin^{2} (6 θ) = cos (12 θ)

p ro v e \frac{cos ( β )}{tan ( β )} = csc (β) - sin (β)

p ro v e cos (3 t) = 4 cos^{3} (t) - 3 cos (t)

p ro v e sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x ) + sec ^{4} ( x )}{2 + sec ^{2} ( x ) - sec ^{4} ( x )}

p ro v e \frac{1}{csc ( x )} = \frac{1}{sin ( x )}