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beweisen (sin^2(θ))/(1-cos(θ))-1=cos(θ)

Lösung

beweisen

\frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} - 1 = cos (θ)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} - 1 = cos (θ)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} - 1

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} - 1

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} - 1

Vereinfache

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} - 1 : cos (θ)

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} - 1

Streiche

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )} : cos (θ) + 1

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{1 - cos ( θ )}

Faktorisiere

1 - cos^{2} (θ) : - (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

1 - cos^{2} (θ)

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (cos^{2} (θ) - 1)

Faktorisiere

cos^{2} (θ) - 1 : (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

cos^{2} (θ) - 1

Schreibe

1

um:

1^{2}

= cos^{2} (θ) - 1^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (θ) - 1^{2} = (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= - (cos (θ) + 1) (cos (θ) - 1)

= - \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ( θ )}

Streiche

- \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ( θ )} : cos (θ) + 1

- \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{1 - cos ( θ )}

- cos (θ) + 1 = - (cos (θ) - 1)

= - \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{- ( cos ( θ ) - 1 )}

Fasse zusammen

= \frac{( cos ( θ ) + 1 ) ( cos ( θ ) - 1 )}{cos ( θ ) - 1}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (θ) - 1

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1

= cos (θ) + 1 - 1

1 - 1 = 0

= cos (θ)

= cos (θ)

= cos (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e 1 - sin (y) = \frac{cos ^{2} ( y )}{1 + sin ( y )}

p ro v e 2 tan (x) = \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

p ro v e \frac{1}{1 - sin ( B )} = sec^{2} (B) + sec (B) tan (B)

p ro v e tan (6 0^{\circ}) = \frac{2 tan ( 3 0 ^{\circ} )}{1 - tan ^{2} ( 3 0 ^{\circ} )}

p ro v e sin^{2} (u) (cot^{2} (u) + 1) = 1