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beweisen (1-cos(2a))/(1+cos(2a))=tan^2(a)

Lösung

beweisen

\frac{1 - cos ( 2 a )}{1 + cos ( 2 a )} = tan^{2} (a)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{1 - cos ( 2 a )}{1 + cos ( 2 a )} = tan^{2} (a)

Manipuliere die linke Seite

\frac{1 - cos ( 2 a )}{1 + cos ( 2 a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ( 2 a )}{1 + cos ( 2 a )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( a ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( a )}

Vereinfache

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( a ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( a )} : \frac{sin ^{2} ( a )}{- sin ^{2} ( a ) + 1}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( a ) )}{1 + 1 - 2 sin ^{2} ( a )}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= \frac{1 - ( - 2 sin ^{2} ( a ) + 1 )}{- 2 sin ^{2} ( a ) + 2}

Multipliziere aus

1 - (1 - 2 sin^{2} (a)) : 2 sin^{2} (a)

1 - (1 - 2 sin^{2} (a))

- (1 - 2 sin^{2} (a)) : - 1 + 2 sin^{2} (a)

- (1 - 2 sin^{2} (a))

Setze Klammern

= - (1) - (- 2 sin^{2} (a))

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (a)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (a)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (a)

= \frac{2 sin ^{2} ( a )}{- 2 sin ^{2} ( a ) + 2}

Faktorisiere

- 2 sin^{2} (a) + 2 : 2 (- sin^{2} (a) + 1)

- 2 sin^{2} (a) + 2

Schreibe um

= - 2 sin^{2} (a) + 2 \cdot 1

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (- sin^{2} (a) + 1)

= \frac{2 sin ^{2} ( a )}{2 ( - sin ^{2} ( a ) + 1 )}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( a )}{( - sin ^{2} ( a ) + 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{sin ^{2} ( a )}{- sin ^{2} ( a ) + 1}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{- sin ^{2} ( a ) + 1}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

= \frac{sin ^{2} ( a )}{cos ^{2} ( a )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \frac{sin ( a )}{cos ( a )} \cdot \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

\frac{sin ( a ) tan ( a )}{cos ( a )}

= tan (a) \frac{sin ( a )}{cos ( a )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

tan (a) tan (a)

Vereinfache

tan (a) tan (a) : tan^{2} (a)

tan (a) tan (a)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

tan (a) tan (a) = tan^{1 + 1} (a)

= tan^{1 + 1} (a)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= tan^{2} (a)

tan^{2} (a)

tan^{2} (a)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (a) sin (b) = sin (a + b)

p ro v e 2 sin (x) = \frac{( 4 cos ( x ) - 1 )}{tan ( x )}

p ro v e \frac{( 1 - cos ( 4 x ) + sin ( 4 x ) )}{( 1 + cos ( 4 x ) + sin ( 4 x ) )} = 3 sin (2 x)

p ro v e sec^{2} (θ) = (sec^{2} (θ) - 1) \cdot csc^{2} (θ)

p ro v e \frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) + cos ( 3 θ )} = csc (3 θ) - sec (3 θ)