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Beliebt Trigonometrie >

beweisen sec^2(θ)=(sec^2(θ)-1)*csc^2(θ)

Lösung

beweisen

sec^{2} (θ) = (sec^{2} (θ) - 1) \cdot csc^{2} (θ)

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

sec^{2} (θ) = (sec^{2} (θ) - 1) csc^{2} (θ)

Manipuliere die rechte Seite

(sec^{2} (θ) - 1) csc^{2} (θ)

Drücke mit sin, cos aus

(- 1 + sec^{2} (θ)) csc^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) csc^{2} (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= (- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) (\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Vereinfache

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} : \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

(- 1 + (\frac{1}{cos ( θ )})^{2}) (\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{cos ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= (\frac{1}{sin ( θ )})^{2} (\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} - 1)

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sin ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{sin ^{2} ( θ )} (\frac{1}{cos ^{2} ( θ )} - 1)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot ( - 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )} )}{sin ^{2} ( θ )}

1 \cdot (- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}) = - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

1 \cdot (- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )})

Multipliziere:

1 \cdot (- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}) = (- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )})

= (- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )})

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= - 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{- 1 + \frac{1}{c o s ^{2} ( θ )}}{sin ^{2} ( θ )}

Füge

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

zusammen:

\frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

- 1 + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )}

= - \frac{1 \cdot cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ )} + \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

Multipliziere:

1 \cdot cos^{2} (θ) = cos^{2} (θ)

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{\frac{- c o s ^{2} ( θ ) + 1}{c o s ^{2} ( θ )}}{sin ^{2} ( θ )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

= \frac{- cos ^{2} ( θ ) + 1}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

= \frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 - cos ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= \frac{sin ^{2} ( θ )}{cos ^{2} ( θ ) sin ^{2} ( θ )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin^{2} (θ)

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{cos ^{2} ( θ )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{1}{( \frac{1}{s e c ( θ )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2} = \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

(\frac{1}{sec ( θ )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sec ^{2} ( θ )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sec ^{2} ( θ )}

= \frac{1}{\frac{1}{s e c ^{2} ( θ )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{sec ^{2} ( θ )}{1}

Wende Regel an

\frac{a}{1} = a

= sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

sec^{2} (θ)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen (cot(3θ)-tan(3θ))/(sin(3θ)+cos(3θ))=csc(3θ)-sec(3θ)

p ro v e \frac{cot ( 3 θ ) - tan ( 3 θ )}{sin ( 3 θ ) + cos ( 3 θ )} = csc (3 θ) - sec (3 θ)

beweisen sin(-pi/2-θ)=-cos(θ)

p ro v e sin (- \frac{π}{2} - θ) = - cos (θ)

beweisen-2cos(2x)*sin(2x)=sin(-4x)

p ro v e - 2 cos (2 x) \cdot sin (2 x) = sin (- 4 x)

beweisen (cos(θ^2))(1/(cos(θ^2)))=1

p ro v e (cos (θ^{2})) (\frac{1}{cos ( θ ^{2} )}) = 1

beweisen sin^2(x)(1+(cos(x))/(sin(x)))=1

p ro v e sin^{2} (x) (1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}) = 1