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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)<=-sin(x)-2

Lösung

cos (2 x) \leq - sin (x) - 2

Lösung

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

Dezimale

x = - 1.57079 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

cos (2 x) \leq - sin (x) - 2

Verschiebe

sin (x)

auf die linke Seite

cos (2 x) \leq - sin (x) - 2

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

cos (2 x) + sin (x) \leq - sin (x) - 2 + sin (x)

cos (2 x) + sin (x) \leq - 2

cos (2 x) + sin (x) \leq - 2

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x) \leq - 2

Angenommen:

u = sin (x)

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2 : u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2

Rewrite in standard form

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

1 - 2 u^{2} + u + 2 \leq - 2 + 2

Vereinfache

- 2 u^{2} + u + 3 \leq 0

- 2 u^{2} + u + 3 \leq 0

Faktorisiere

- 2 u^{2} + u + 3 : - (u + 1) (2 u - 3)

- 2 u^{2} + u + 3

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u^{2} - u - 3)

Faktorisiere

2 u^{2} - u - 3 : (u + 1) (2 u - 3)

2 u^{2} - u - 3

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} - u - 3

Definition

Faktoren von

6 : 1, 2, 3, 6

6

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

6 : 2, 3

6

6

ist durch

26 = 3 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 3

2, 3

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 3

Addiere alle Primfaktoren.

2, 3

Addiere 1 und die Zahl

6

selbst

1, 6

Die Faktoren von

6

1, 2, 3, 6

Negative Faktoren von

6 : - 1, - 2, - 3, - 6

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2, - 3, - 6

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 6,

prüfe, ob

u + v = - 1

Prüfe

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

Wahr

u = 2, v = - 3

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + 2 u) + (- 3 u - 3)

= (2 u^{2} + 2 u) + (- 3 u - 3)

Klammere

2 u

aus

2 u^{2} + 2 u

aus

: 2 u (u + 1)

2 u^{2} + 2 u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + 2 u

Klammere gleiche Terme aus

2 u

= 2 u (u + 1)

Klammere

- 3

aus

- 3 u - 3

aus

: - 3 (u + 1)

- 3 u - 3

Klammere gleiche Terme aus

- 3

= - 3 (u + 1)

= 2 u (u + 1) - 3 (u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

u + 1

= (u + 1) (2 u - 3)

= - (u + 1) (2 u - 3)

- (u + 1) (2 u - 3) \leq 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

(- (u + 1) (2 u - 3)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

(u + 1) (2 u - 3) \geq 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(u + 1) (2 u - 3)

Finde die Vorzeichen von

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

u > - 1

u > - 1

Finde die Vorzeichen von

2 u - 3

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 = 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

Vereinfache

2 u = 3

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

Vereinfache

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 < 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

Vereinfache

2 u < 3

2 u < 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

Vereinfache

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

Verschiebe

3

auf die rechte Seite

2 u - 3 > 0

Füge

3

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

Vereinfache

2 u > 3

2 u > 3

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 3

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

Vereinfache

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

Fasse in einer Tabelle zusammen:

u + 1 2 u - 3 (u + 1) (2 u - 3) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = \frac{3}{2} or u > \frac{3}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

u \leq - 1 or u = \frac{3}{2} or u > \frac{3}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u < - 1

oder

u = - 1

u \leq - 1

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - 1

oder

u = \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u = \frac{3}{2}

Die Vereinigung zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in einem der beiden Intervalle liegen

u \leq - 1 or u = \frac{3}{2}

oder

u > \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) \leq - 1 or sin (x) \geq \frac{3}{2}

sin (x) \leq - 1 : x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \leq - 1

Für

sin (x) \leq a

, wenn

- 1 < a < 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- 1) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- 1) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

- π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= - π - (- \frac{π}{2})

Vereinfache

- π - (- \frac{π}{2})

Wende Regel an

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 + π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- 2 π + π = - π

= \frac{- π}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

Vereinfache

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{2} + 2 πn

Vereinfache

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{3}{2} :

Falsch für alle

x \in R

sin (x) \geq \frac{3}{2}

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y \geq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y \geq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y \geq \frac{3}{2}

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere die Bereiche

x = - \frac{π}{2} + 2 πn or Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

sin(x)*cos(2x)>0

sin (x) \cdot cos (2 x) > 0

cos^2(x)> 3/4

cos^{2} (x) > \frac{3}{4}

(3sin(x)-sqrt(3)cos(x))/(2cos(x)+1)<0

\frac{3 sin ( x ) - 3 cos ( x )}{2 cos ( x ) + 1} < 0

sin(x)-cos(x)+1>= 0

sin (x) - cos (x) + 1 \geq 0

cos(x)>-2

cos (x) > - 2