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受欢迎的三角函数 >

cos(2x)<=-sin(x)-2

解答

cos (2 x) \leq - sin (x) - 2

解答

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

+1

十进制

x = - 1.57079 \dots + 2 πn

求解步骤

cos (2 x) \leq - sin (x) - 2

将

sin (x)

para o lado esquerdo

cos (2 x) \leq - sin (x) - 2

两边加上

sin (x)

cos (2 x) + sin (x) \leq - sin (x) - 2 + sin (x)

cos (2 x) + sin (x) \leq - 2

cos (2 x) + sin (x) \leq - 2

利用以下特性:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

1 - 2 sin^{2} (x) + sin (x) \leq - 2

令

: u = sin (x)

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2 : u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2

改写为标准形式

1 - 2 u^{2} + u \leq - 2

两边加上

2

1 - 2 u^{2} + u + 2 \leq - 2 + 2

化简

- 2 u^{2} + u + 3 \leq 0

- 2 u^{2} + u + 3 \leq 0

分解

- 2 u^{2} + u + 3 : - (u + 1) (2 u - 3)

- 2 u^{2} + u + 3

因式分解出通项

- 1

= - (2 u^{2} - u - 3)

分解

2 u^{2} - u - 3 : (u + 1) (2 u - 3)

2 u^{2} - u - 3

将表达式拆分成组

2 u^{2} - u - 3

定义

6

的因数:

1, 2, 3, 6

6

约数 (因数)

找到

6

的质因数:

2, 3

6

6

除以

26 = 3 \cdot 2

= 2 \cdot 3

2, 3

都是质数，因此无法进一步因数分解

= 2 \cdot 3

添加质因数:

2, 3

将 1 和数字

6

自身相加

1, 6

6

的因数

1, 2, 3, 6

6

的负因数:

- 1, - 2, - 3, - 6

将因数乘以

- 1

得到负因数

- 1, - 2, - 3, - 6

对于每两个因数

u * v = - 6

，检验是否

u + v = - 1

检验

u = 1, v = - 6 : u * v = - 6, u + v = - 5 \Rightarrow

假检验

u = 2, v = - 3 : u * v = - 6, u + v = - 1 \Rightarrow

真

u = 2, v = - 3

分组为

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + 2 u) + (- 3 u - 3)

= (2 u^{2} + 2 u) + (- 3 u - 3)

从

2 u^{2} + 2 u

分解出因式

2 u

:

2 u (u + 1)

2 u^{2} + 2 u

使用指数法则:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + 2 u

因式分解出通项

2 u

= 2 u (u + 1)

从

- 3 u - 3

分解出因式

- 3

:

- 3 (u + 1)

- 3 u - 3

因式分解出通项

- 3

= - 3 (u + 1)

= 2 u (u + 1) - 3 (u + 1)

因式分解出通项

u + 1

= (u + 1) (2 u - 3)

= - (u + 1) (2 u - 3)

- (u + 1) (2 u - 3) \leq 0

两边乘以

- 1

（改变不等式符号）

(- (u + 1) (2 u - 3)) (- 1) \geq 0 \cdot (- 1)

化简

(u + 1) (2 u - 3) \geq 0

确定区间

确定

(u + 1) (2 u - 3)

符号

确定

u + 1

符号

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

将

1

到右边

u + 1 = 0

两边减去

1

u + 1 - 1 = 0 - 1

化简

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

将

1

到右边

u + 1 < 0

两边减去

1

u + 1 - 1 < 0 - 1

化简

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

将

1

到右边

u + 1 > 0

两边减去

1

u + 1 - 1 > 0 - 1

化简

u > - 1

u > - 1

确定

2 u - 3

符号

2 u - 3 = 0 : u = \frac{3}{2}

2 u - 3 = 0

将

3

到右边

2 u - 3 = 0

两边加上

3

2 u - 3 + 3 = 0 + 3

化简

2 u = 3

2 u = 3

两边除以

2

2 u = 3

两边除以

2

\frac{2 u}{2} = \frac{3}{2}

化简

u = \frac{3}{2}

u = \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0 : u < \frac{3}{2}

2 u - 3 < 0

将

3

到右边

2 u - 3 < 0

两边加上

3

2 u - 3 + 3 < 0 + 3

化简

2 u < 3

2 u < 3

两边除以

2

2 u < 3

两边除以

2

\frac{2 u}{2} < \frac{3}{2}

化简

u < \frac{3}{2}

u < \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0 : u > \frac{3}{2}

2 u - 3 > 0

将

3

到右边

2 u - 3 > 0

两边加上

3

2 u - 3 + 3 > 0 + 3

化简

2 u > 3

2 u > 3

两边除以

2

2 u > 3

两边除以

2

\frac{2 u}{2} > \frac{3}{2}

化简

u > \frac{3}{2}

u > \frac{3}{2}

总结如下表：

u + 1 2 u - 3 (u + 1) (2 u - 3) u < - 1 - - + u = - 1 0 - 0 - 1 < u < \frac{3}{2} + - - u = \frac{3}{2} + 00 u > \frac{3}{2} + + +

确定满足所需条件的区间：

\geq 0

u < - 1 or u = - 1 or u = \frac{3}{2} or u > \frac{3}{2}

合并重叠的区间

u \leq - 1 or u = \frac{3}{2} or u > \frac{3}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u < - 1

or

u = - 1

u \leq - 1

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - 1

or

u = \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u = \frac{3}{2}

两个区间的并集是指存在于任一区间的数的集合

u \leq - 1 or u = \frac{3}{2}

or

u > \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u \leq - 1 or u \geq \frac{3}{2}

u = sin (x)

代回

sin (x) \leq - 1 or sin (x) \geq \frac{3}{2}

sin (x) \leq - 1 : x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \leq - 1

对于

sin (x) \leq a

，若

- 1 < a < 1

，则

- π - arcsin (a) + 2 πn \leq x \leq arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- 1) + 2 πn \leq x \leq arcsin (- 1) + 2 πn

化简

- π - arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

- π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

利用以下特性:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= - π - (- \frac{π}{2})

化简

- π - (- \frac{π}{2})

使用法则

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{2}

将项转换为分式:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

因为分母相等，所以合并分式:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 + π}{2}

同类项相加:

- 2 π + π = - π

= \frac{- π}{2}

使用分式法则:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

化简

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

利用以下特性:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

使用以下普通恒等式:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn \leq x \leq - \frac{π}{2} + 2 πn

化简

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) \geq \frac{3}{2} :

对所有

x \in R

为假

sin (x) \geq \frac{3}{2}

sin (x)

的值域:

- 1 \leq sin (x) \leq 1

函数值域定义

基本

sin

函数的值域为

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) \geq \frac{3}{2} and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

假

令

y = sin (x)

合并区间

y \geq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

合并重叠的区间

y \geq \frac{3}{2} and - 1 \leq y \leq 1

两个区间的交集是指同时存在于这两个区间的数的集合

y \geq \frac{3}{2}

and

- 1 \leq y \leq 1

对所有 y \in R 为假

对所有 y \in R 为假

x \in R 无解

对所有 x \in R 为假

合并区间

x = - \frac{π}{2} + 2 πn or 对所有 x \in R 为假

合并重叠的区间

x = - \frac{π}{2} + 2 πn

流行的例子

sin(x)*cos(2x)>0

sin (x) \cdot cos (2 x) > 0

cos^{2} (x) > \frac{3}{4}

(3sin(x)-sqrt(3)cos(x))/(2cos(x)+1)<0

\frac{3 sin ( x ) - 3 cos ( x )}{2 cos ( x ) + 1} < 0

sin(x)-cos(x)+1>= 0

sin (x) - cos (x) + 1 \geq 0

cos (x) > - 2