English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

sin(x)*cos(2x)>0

Lời Giải

sin (x) \cdot cos (2 x) > 0

Lời Giải

2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn

Ký hiệu khoảng thời gian

(2 πn, \frac{π}{4} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{4} + 2 πn, π + 2 πn) \cup (- \frac{3 π}{4} + 2 πn, - \frac{π}{4} + 2 πn)

Số thập phân

2 πn < x < 0.78539 \dots + 2 πn or 2.35619 \dots + 2 πn < x < 3.14159 \dots + 2 πn or - 2.35619 \dots + 2 πn < x < - 0.78539 \dots + 2 πn

Các bước giải pháp

sin (x) cos (2 x) > 0

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) > 0

Cho:

u = sin (x)

(1 - 2 u^{2}) u > 0

(1 - 2 u^{2}) u > 0 : u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

(1 - 2 u^{2}) u > 0

Hệ số

(1 - 2 u^{2}) u : - u (2 u + 1) (2 u - 1)

(1 - 2 u^{2}) u

Hệ số

- 2 u^{2} + 1 : - (2 u + 1) (2 u - 1)

- 2 u^{2} + 1

Đưa số hạng chung ra ngoài ngoặc

- 1

= - (2 u^{2} - 1)

Hệ số

2 u^{2} - 1 : (2 u + 1) (2 u - 1)

2 u^{2} - 1

Viết lại

2 u^{2} - 1

dưới dạng

(2 u)^{2} - 1^{2}

2 u^{2} - 1

Áp dụng quy tắc căn thức:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1

Viết lại

1

dưới dạng

1^{2}

= (2)^{2} u^{2} - 1^{2}

Áp dụng quy tắc số mũ:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} u^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

= (2 u)^{2} - 1^{2}

Áp Dụng Công Thức Hiệu của Các Bình Phương:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 u)^{2} - 1^{2} = (2 u + 1) (2 u - 1)

= (2 u + 1) (2 u - 1)

= - (2 u + 1) (2 u - 1)

= - u (2 u + 1) (2 u - 1)

- u (2 u + 1) (2 u - 1) > 0

Nhân cả hai vế với

- 1

(đảo ngược bất đẳng thức)

(- u (2 u + 1) (2 u - 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

Rút gọn

u (2 u + 1) (2 u - 1) < 0

Xác định các khoảng:

Tìm dấu của các thừa số của

u (2 u + 1) (2 u - 1)

Tìm dấu của

u

u = 0

u < 0

u > 0

Tìm dấu của

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

2 u + 1 = 0

Trừ

1

cho cả hai bên

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Rút gọn

2 u = - 1

2 u = - 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u = - 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= u

Rút gọn

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Hữu tỷ hóa

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Nhân với liên hợp của

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Áp dụng quy tắc căn thức:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

u = - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 < 0

Di chuyển

1

sang vế phải

2 u + 1 < 0

Trừ

1

cho cả hai bên

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Rút gọn

2 u < - 1

2 u < - 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u < - 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= u

Rút gọn

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Hữu tỷ hóa

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Nhân với liên hợp của

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Áp dụng quy tắc căn thức:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{2}{2}

2 u + 1 > 0

Di chuyển

1

sang vế phải

2 u + 1 > 0

Trừ

1

cho cả hai bên

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Rút gọn

2 u > - 1

2 u > - 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u > - 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= u

Rút gọn

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Hữu tỷ hóa

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Nhân với liên hợp của

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Áp dụng quy tắc căn thức:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

u > - \frac{2}{2}

Tìm dấu của

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{2}{2}

2 u - 1 = 0

Di chuyển

1

sang vế phải

2 u - 1 = 0

Thêm

1

vào cả hai bên

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Rút gọn

2 u = 1

2 u = 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u = 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= u

Rút gọn

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Nhân với liên hợp của

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Áp dụng quy tắc căn thức:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

u = \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{2}{2}

2 u - 1 < 0

Di chuyển

1

sang vế phải

2 u - 1 < 0

Thêm

1

vào cả hai bên

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Rút gọn

2 u < 1

2 u < 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u < 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= u

Rút gọn

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Nhân với liên hợp của

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Áp dụng quy tắc căn thức:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

u < \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{2}{2}

2 u - 1 > 0

Di chuyển

1

sang vế phải

2 u - 1 > 0

Thêm

1

vào cả hai bên

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Rút gọn

2 u > 1

2 u > 1

Chia cả hai vế cho

2

2 u > 1

Chia cả hai vế cho

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Rút gọn

\frac{2 u}{2} : u

\frac{2 u}{2}

Triệt tiêu thừa số chung:

2

= u

Rút gọn

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Nhân với liên hợp của

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Áp dụng quy tắc căn thức:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

u > \frac{2}{2}

Tóm tắt trong một bảng:

u 2 u + 1 2 u - 1 u (2 u + 1) (2 u - 1) u < - \frac{2}{2} - - - - u = - \frac{2}{2} - 0 - 0 - \frac{2}{2} < u < 0 - + - + u = 0 0 + - 0 0 < u < \frac{2}{2} + + - - u = \frac{2}{2} + + 00 u > \frac{2}{2} + + + +

Xác định khoảng thỏa mãn điều kiện bắt buộc:

< 0

u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

u < - \frac{2}{2} or 0 < u < \frac{2}{2}

Thay thế lại

u = sin (x)

sin (x) < - \frac{2}{2} or 0 < sin (x) < \frac{2}{2}

sin (x) < - \frac{2}{2} : - \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) < - \frac{2}{2}

Đối với

sin (x) < a

, nếu

- 1 < a \leq 1

thì

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn < x < arcsin (- \frac{2}{2}) + 2 πn

Rút gọn

- π - arcsin (- \frac{2}{2}) : - \frac{3 π}{4}

- π - arcsin (- \frac{2}{2})

arcsin (- \frac{2}{2}) = - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Sử dụng tính chất sau:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

= - π - (- \frac{π}{4})

Rút gọn

- π - (- \frac{π}{4})

Áp dụng quy tắc

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{4}

Chuyển phần tử thành phân số:

π = \frac{π 4}{4}

= - \frac{π 4}{4} + \frac{π}{4}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 4 + π}{4}

Thêm các phần tử tương tự:

- 4 π + π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{4}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 π}{4}

= - \frac{3 π}{4}

Rút gọn

arcsin (- \frac{2}{2}) : - \frac{π}{4}

arcsin (- \frac{2}{2})

Sử dụng tính chất sau:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{2}{2}) = - arcsin (\frac{2}{2})

= - arcsin (\frac{2}{2})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

= - \frac{π}{4}

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn

0 < sin (x) < \frac{2}{2} : 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x) < \frac{2}{2}

Nếu

a < u < b

thì

a < u and u < b

0 < sin (x) and sin (x) < \frac{2}{2}

0 < sin (x) : 2 πn < x < π + 2 πn

0 < sin (x)

Đổi bên

sin (x) > 0

Đối với

sin (x) > a

, nếu

- 1 \leq a < 1

thì

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (0) + 2 πn < x < π - arcsin (0) + 2 πn

Rút gọn

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

Rút gọn

π - arcsin (0) : π

π - arcsin (0)

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - 0

π - 0 = π

= π

0 + 2 πn < x < π + 2 πn

Rút gọn

2 πn < x < π + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2} : - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

sin (x) < \frac{2}{2}

Đối với

sin (x) < a

, nếu

- 1 < a \leq 1

thì

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn < x < arcsin (\frac{2}{2}) + 2 πn

Rút gọn

- π - arcsin (\frac{2}{2}) : - \frac{5 π}{4}

- π - arcsin (\frac{2}{2})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{4}

Rút gọn

- π - \frac{π}{4}

Chuyển phần tử thành phân số:

π = \frac{π 4}{4}

= - \frac{π 4}{4} - \frac{π}{4}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 4 - π}{4}

Thêm các phần tử tương tự:

- 4 π - π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{4}

Áp dụng quy tắc phân số:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{4}

= - \frac{5 π}{4}

Rút gọn

arcsin (\frac{2}{2}) : \frac{π}{4}

arcsin (\frac{2}{2})

Sử dụng hằng đẳng thức sau:

arcsin (\frac{2}{2}) = \frac{π}{4}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{4}

- \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

Kết hợp các khoảng

2 πn < x < π + 2 πn and - \frac{5 π}{4} + 2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn

Hợp nhất các khoảng chồng lên nhau

2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn

Kết hợp các khoảng

- \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn or (2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn)

Hợp nhất các khoảng chồng lên nhau

2 πn < x < \frac{π}{4} + 2 πn or \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < π + 2 πn or - \frac{3 π}{4} + 2 πn < x < - \frac{π}{4} + 2 πn

Ví dụ phổ biến

cos^2(x)> 3/4

(3sin(x)-sqrt(3)cos(x))/(2cos(x)+1)<0

sin(x)-cos(x)+1>= 0

cos(x)>-2

csc(x)>2