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Beliebt Trigonometrie >

tan(θ)-4/5 cos(θ)>0csc(θ)

Lösung

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 csc (θ)

Lösung

0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Intervall-Notation

(0.58745 \dots + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (π - 0.58745 \dots + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn)

Dezimale

0.58745 \dots + 2 πn < θ < 1.57079 \dots + 2 πn or 2.55413 \dots + 2 πn < θ < 4.71238 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 \cdot csc (θ)

Verschiebe

0 csc (θ)

auf die linke Seite

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 \cdot csc (θ)

Subtrahiere

0 csc (θ)

von beiden Seiten

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) > 0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) > 0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

Fasse zusammen

Vereinfache

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ) : tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 \cdot csc (θ)

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) - 0 = tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

= tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

0 \cdot csc (θ) - 0 \cdot csc (θ)

Addiere gleiche Elemente:

0 csc (θ) - 0 csc (θ) > 0

= 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

Periodizität von

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) : 2 π

Die zusammengesetzte Periodizität der Summe der periodischen Funktionen ist der kleinste gemeinsame Multiplikator der Perioden

tan (θ), \frac{4}{5} cos (θ)

Periodizität von

tan (θ) : π

Die Periodizität von

tan (x)

ist

π

= π

Periodizität von

\frac{4}{5} cos (θ) : 2 π

Periodizität von

a \cdot cos (b x + c) + d = \frac{Periodizit a ¨ t von cos ( x )}{∣ b ∣}

Die Periodizität von

cos (x)

ist

2 π

= \frac{2 π}{∣ 1 ∣}

Vereinfache

= 2 π

Kombiniere Perioden:

π, 2 π

= 2 π

Drücke mit sin, cos aus

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) > 0

Vereinfache

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ) : \frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4}{5} cos (θ)

Multipliziere

\frac{4}{5} cos (θ) : \frac{4 cos ( θ )}{5}

\frac{4}{5} cos (θ)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{4 cos ( θ )}{5}

= \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4 cos ( θ )}{5}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

cos (θ), 5 : 5 cos (θ)

cos (θ), 5

kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV)

Finde einen mathematischen Ausdruck, der aus Faktoren besteht, die entweder in

cos (θ)

oder

5

auftauchen.

= 5 cos (θ)

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

5 cos (θ)

Für

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

5

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) \cdot 5}{cos ( θ ) \cdot 5}

Für

\frac{4 cos ( θ )}{5} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

cos (θ)

\frac{4 cos ( θ )}{5} = \frac{4 cos ( θ ) cos ( θ )}{5 cos ( θ )} = \frac{4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 5}{cos ( θ ) \cdot 5} - \frac{4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{sin ( θ ) \cdot 5 - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} > 0

Finde die Nullstellen und undefinierten Punkte von

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )}

für

0 \leq θ < 2 π

Um die Nullstellen zu finden, setze die Ungleichung auf Null

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π : θ = 0.58745 \dots, θ = π - 0.58745 \dots

\frac{5 sin ( θ ) - 4 cos ^{2} ( θ )}{5 cos ( θ )} = 0, 0 \leq θ < 2 π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

5 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 cos^{2} (θ) + 5 sin (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 (1 - sin^{2} (θ)) + 5 sin (θ)

- (1 - sin^{2} (θ)) \cdot 4 + 5 sin (θ) = 0

Löse mit Substitution

- (1 - sin^{2} (θ)) \cdot 4 + 5 sin (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0 : u = \frac{- 5 + 89}{8}, u = \frac{- 5 - 89}{8}

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u = 0

Schreibe

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u

um:

- 4 + 4 u^{2} + 5 u

- (1 - u^{2}) \cdot 4 + 5 u

= - 4 (1 - u^{2}) + 5 u

Multipliziere aus

- 4 (1 - u^{2}) : - 4 + 4 u^{2}

- 4 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = 1, c = u^{2}

= - 4 \cdot 1 - (- 4) u^{2}

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 4 \cdot 1 + 4 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 = 4

= - 4 + 4 u^{2}

= - 4 + 4 u^{2} + 5 u

- 4 + 4 u^{2} + 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 5 u - 4 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} + 5 u - 4 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = 5, c = - 4

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 4 )}{2 \cdot 4}

5^{2} - 4 \cdot 4 (- 4) = 89

5^{2} - 4 \cdot 4 (- 4)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 4

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

= 5^{2} + 64

5^{2} = 25

= 25 + 64

Addiere die Zahlen:

25 + 64 = 89

= 89

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 89}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4} : \frac{- 5 + 89}{8}

\frac{- 5 + 89}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 5 + 89}{8}

u = \frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4} : \frac{- 5 - 89}{8}

\frac{- 5 - 89}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 5 - 89}{8}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{- 5 + 89}{8}, u = \frac{- 5 - 89}{8}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π : θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = \frac{- 5 + 89}{8}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn

θ = arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn, θ = π - arcsin (\frac{- 5 + 89}{8}) + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq θ < 2 π

θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π :

Keine Lösung

sin (θ) = \frac{- 5 - 89}{8}, 0 \leq θ < 2 π

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (\frac{89 - 5}{8}), θ = π - arcsin (\frac{89 - 5}{8})

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 0.58745 \dots, θ = π - 0.58745 \dots

Finde die unbestimmten Punkte:

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

Finde die Nullstellen des Nenners

5 cos (θ) = 0

Teile beide Seiten durch

5

5 cos (θ) = 0

Teile beide Seiten durch

5

\frac{5 cos ( θ )}{5} = \frac{0}{5}

Vereinfache

cos (θ) = 0

cos (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 0

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Lösungen für den Bereich

0 \leq θ < 2 π

θ = \frac{π}{2}, θ = \frac{3 π}{2}

0.58745 \dots, \frac{π}{2}, π - 0.58745 \dots, \frac{3 π}{2}

Identifiziere die Intervalle

0 < θ < 0.58745 \dots, 0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < θ < π - 0.58745 \dots, π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} < θ < 2 π

Fasse in einer Tabelle zusammen:

5 sin (θ) - 4 cos^{2} (θ) cos (θ) \frac{5 s i n ( θ ) - 4 c o s ^{2} ( θ )}{5 c o s ( θ )} θ = 0 - + - 0 < θ < 0.58745 \dots - + - θ = 0.58745 \dots 0 + 0 0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2} + + + θ = \frac{π}{2} + 0 Unbestimmt \frac{π}{2} < θ < π - 0.58745 \dots + - - θ = π - 0.58745 \dots 0 - 0 π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2} - - + θ = \frac{3 π}{2} - 0 Unbestimmt \frac{3 π}{2} < θ < 2 π - + - θ = 2 π - + -

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

> 0

0.58745 \dots < θ < \frac{π}{2} or π - 0.58745 \dots < θ < \frac{3 π}{2}

Verwende die Periodizität von

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ)

0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{π}{2} + 2 πn or π - 0.58745 \dots + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

Beliebte Beispiele

cot(x)>-1/(sqrt(3))

cot (x) > - \frac{1}{3}

(cos(x)-1.5708)(cos(x)+1.5708)<= 0

(cos (x) - 1.5708) (cos (x) + 1.5708) \leq 0

cot(pi-x)<-1

cot (π - x) < - 1

cos(2x)-cos(x)>0

cos (2 x) - cos (x) > 0

1-sin(x)<1

1 - sin (x) < 1