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Popolare Trigonometria >

sin(x)<sin^2(x)

Soluzione

sin (x) < sin^{2} (x)

Soluzione

- π + 2 πn < x < 2 πn

Notazione dell’intervallo

(- π + 2 πn, 2 πn)

Decimale

- 3.14159 \dots + 2 πn < x < 2 πn

Fasi della soluzione

sin (x) < sin^{2} (x)

Sia:

u = sin (x)

u < u^{2}

u < u^{2} : u < 0 or u > 1

u < u^{2}

Riscrivere in forma standard

u < u^{2}

Sottrarre

u^{2}

da entrambi i lati

u - u^{2} < u^{2} - u^{2}

Semplificare

u - u^{2} < 0

u - u^{2} < 0

Fattorizza

u - u^{2} : - u (u - 1)

u - u^{2}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= - uu + u

Fattorizzare dal termine comune

- u

= - u (u - 1)

- u (u - 1) < 0

Moltiplicare entrambi i lati per

- 1

(invertire l'ineguaglianza)

(- u (u - 1)) (- 1) > 0 \cdot (- 1)

Semplificare

u (u - 1) > 0

Identifica gli intervalli

Trova i segni dei fattori di

u (u - 1)

Trova i segni di

u

u = 0

u < 0

u > 0

Trova i segni di

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 < 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 < 0 + 1

Semplificare

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

u - 1 > 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

u - 1 + 1 > 0 + 1

Semplificare

u > 1

u > 1

Riassumere in una tabella:

u u - 1 u (u - 1) u < 0 - - + u = 0 0 - 0 0 < u < 1 + - - u = 1 + 00 u > 1 + + +

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

u < 0 or u > 1

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) < 0 or sin (x) > 1

sin (x) < 0 : - π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) < 0

Per

sin (x) < a

, se

- 1 < a \leq 1

allora

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (0) + 2 πn < x < arcsin (0) + 2 πn

Semplificare

- π - arcsin (0) : - π

- π - arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - 0

- π - 0 = - π

= - π

Semplificare

arcsin (0) : 0

arcsin (0)

Usare la seguente identità triviale:

arcsin (0) = 0

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= 0

- π + 2 πn < x < 0 + 2 πn

Semplificare

- π + 2 πn < x < 2 πn

sin (x) > 1 :

Falso per tutti

x \in R

sin (x) > 1

Intervallo di

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definizione dell'intervallo di valori della funzione

L'intervallo della funzione di base

sin

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) > 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falso

Lasciare

y = sin (x)

Combina gli intervalli

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

Unire gli intervalli sovrapposti

y > 1 and - 1 \leq y \leq 1

L'intersezione di due intervalli è l'insieme di numeri che sono in entrambi gli intervalli

y > 1

- 1 \leq y \leq 1

Falso per tutti y \in R

Falso per tutti y \in R

Nessuna soluzione per x \in R

Falso per tutti x \in R

Combina gli intervalli

- π + 2 πn < x < 2 πn or Falso per tutti x \in R

Unire gli intervalli sovrapposti

- π + 2 πn < x < 2 πn

Esempi popolari

tan(x)<= 0

tan (x) \leq 0

cos(2t)>0

cos (2 t) > 0

90-arctan((3x)/4)>= 40

90 - arctan (\frac{3 x}{4}) \geq 40

cos(2θ)-3sin(θ)-2>0

cos (2 θ) - 3 sin (θ) - 2 > 0

(1-2sin(x))(2cos(x)+sqrt(3))<= 0

(1 - 2 sin (x)) (2 cos (x) + 3) \leq 0