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Beliebt Trigonometrie >

cos(2θ)-3sin(θ)-2>0

Lösung

cos (2 θ) - 3 sin (θ) - 2 > 0

Lösung

\frac{7 π}{6} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < θ < \frac{11 π}{6} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{7 π}{6} + 2 πn, \frac{3 π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{3 π}{2} + 2 πn, \frac{11 π}{6} + 2 πn)

Dezimale

3.66519 \dots + 2 πn < θ < 4.71238 \dots + 2 πn or 4.71238 \dots + 2 πn < θ < 5.75958 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

cos (2 θ) - 3 sin (θ) - 2 > 0

Verwende die folgenden Identitäten:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

- 2 + 1 - 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) > 0

Vereinfache

- 2 sin^{2} (θ) - 3 sin (θ) - 1 > 0

Angenommen:

u = sin (θ)

- 2 u^{2} - 3 u - 1 > 0

- 2 u^{2} - 3 u - 1 > 0 : - 1 < u < - \frac{1}{2}

- 2 u^{2} - 3 u - 1 > 0

Faktorisiere

- 2 u^{2} - 3 u - 1 : - (2 u + 1) (u + 1)

- 2 u^{2} - 3 u - 1

Klammere gleiche Terme aus

- 1

= - (2 u^{2} + 3 u + 1)

Faktorisiere

2 u^{2} + 3 u + 1 : (2 u + 1) (u + 1)

2 u^{2} + 3 u + 1

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} + 3 u + 1

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = 2,

prüfe, ob

u + v = 3

Prüfe

u = 1, v = 2 : u * v = 2, u + v = 3 \Rightarrow

Wahr

u = 1, v = 2

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

= (2 u^{2} + u) + (2 u + 1)

Klammere

u

aus

2 u^{2} + u

aus

: u (2 u + 1)

2 u^{2} + u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu + u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u + 1)

= u (2 u + 1) + (2 u + 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u + 1

= (2 u + 1) (u + 1)

= - (2 u + 1) (u + 1)

- (2 u + 1) (u + 1) > 0

Multipliziere beide Seiten mit

- 1

(drehe die Ungleichung um)

(- (2 u + 1) (u + 1)) (- 1) < 0 \cdot (- 1)

Vereinfache

(2 u + 1) (u + 1) < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

(2 u + 1) (u + 1)

Finde die Vorzeichen von

2 u + 1

2 u + 1 = 0 : u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 u = - 1

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u = - \frac{1}{2}

u = - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0 : u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

2 u < - 1

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u < - \frac{1}{2}

u < - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0 : u > - \frac{1}{2}

2 u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

2 u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

2 u > - 1

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{- 1}{2}

Vereinfache

u > - \frac{1}{2}

u > - \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

u > - 1

u > - 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u + 1 u + 1 (2 u + 1) (u + 1) u < - 1 - - + u = - 1 - 00 - 1 < u < - \frac{1}{2} - + - u = - \frac{1}{2} 0 + 0 u > - \frac{1}{2} + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

- 1 < u < - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

- 1 < sin (θ) < - \frac{1}{2}

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

- 1 < sin (θ) and sin (θ) < - \frac{1}{2}

- 1 < sin (θ) : - \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

- 1 < sin (θ)

Tausche die Seiten

sin (θ) > - 1

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (- 1) + 2 πn < θ < π - arcsin (- 1) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (- 1) : - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

Vereinfache

π - arcsin (- 1) : \frac{3 π}{2}

π - arcsin (- 1)

arcsin (- 1) = - \frac{π}{2}

arcsin (- 1)

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- 1) = - arcsin (1)

= - arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

arcsin (1)

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

= - \frac{π}{2}

= π - (- \frac{π}{2})

Vereinfache

π - (- \frac{π}{2})

Wende Regel an

- (- a) = a

= π + \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 2}{2}

= \frac{π 2}{2} + \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 + π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

2 π + π = 3 π

= \frac{3 π}{2}

= \frac{3 π}{2}

- \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) < - \frac{1}{2} : - \frac{5 π}{6} + 2 πn < θ < - \frac{π}{6} + 2 πn

sin (θ) < - \frac{1}{2}

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn < θ < arcsin (- \frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{5 π}{6}

- π - arcsin (- \frac{1}{2})

arcsin (- \frac{1}{2}) = - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

= - π - (- \frac{π}{6})

Vereinfache

- π - (- \frac{π}{6})

Wende Regel an

- (- a) = a

= - π + \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= - \frac{π 6}{6} + \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 6 + π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

- 6 π + π = - 5 π

= \frac{- 5 π}{6}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{5 π}{6}

= - \frac{5 π}{6}

Vereinfache

arcsin (- \frac{1}{2}) : - \frac{π}{6}

arcsin (- \frac{1}{2})

Verwende die folgende Eigenschaft:

arcsin (- x) = - arcsin (x)

arcsin (- \frac{1}{2}) = - arcsin (\frac{1}{2})

= - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

= - \frac{π}{6}

- \frac{5 π}{6} + 2 πn < θ < - \frac{π}{6} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

- \frac{π}{2} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn and - \frac{5 π}{6} + 2 πn < θ < - \frac{π}{6} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{7 π}{6} + 2 πn < θ < \frac{3 π}{2} + 2 πn or \frac{3 π}{2} + 2 πn < θ < \frac{11 π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

(1-2sin(x))(2cos(x)+sqrt(3))<= 0

(1 - 2 sin (x)) (2 cos (x) + 3) \leq 0

sqrt(3)cos(x)-1<0

3 cos (x) - 1 < 0

tan(x)>-sqrt(3)

tan (x) > - 3

(9sin(t)+1)/8 <= 2pi

\frac{9 sin ( t ) + 1}{8} \leq 2 π

(2cos(θ)+1)/(2sin(θ)-sqrt(3))>0

\frac{2 cos ( θ ) + 1}{2 sin ( θ ) - 3} > 0