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Popolare Trigonometria >

cos(x+pi/6)cos(x-pi/6)=cos(2x)

Soluzione

cos (x + \frac{π}{6}) cos (x - \frac{π}{6}) = cos (2 x)

Soluzione

x = \frac{5 π}{6} + πn, x = \frac{π}{6} + πn

Gradi

x = 15 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n, x = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (x + \frac{π}{6}) cos (x - \frac{π}{6}) = cos (2 x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (x + \frac{π}{6}) cos (x - \frac{π}{6}) = cos (2 x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

cos (x - \frac{π}{6})

Usa la formula della differenza degli angoli:

cos (s - t) = cos (s) cos (t) + sin (s) sin (t)

= cos (x) cos (\frac{π}{6}) + sin (x) sin (\frac{π}{6})

Semplifica

cos (x) cos (\frac{π}{6}) + sin (x) sin (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

cos (x) cos (\frac{π}{6}) + sin (x) sin (\frac{π}{6})

Semplifica

cos (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) + sin (\frac{π}{6}) sin (x)

Semplifica

sin (\frac{π}{6}) : \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)

Usa la formula della somma degli angoli:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= cos (x) cos (\frac{π}{6}) - sin (x) sin (\frac{π}{6})

Semplifica

cos (x) cos (\frac{π}{6}) - sin (x) sin (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

cos (x) cos (\frac{π}{6}) - sin (x) sin (\frac{π}{6})

Semplifica

cos (\frac{π}{6}) : \frac{3}{2}

cos (\frac{π}{6})

Usare la seguente identità triviale:

cos (\frac{π}{6}) = \frac{3}{2}

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{3}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) - sin (\frac{π}{6}) sin (x)

Semplifica

sin (\frac{π}{6}) : \frac{1}{2}

sin (\frac{π}{6})

Usare la seguente identità triviale:

sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

= \frac{1}{2}

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

= \frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)

(\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) (\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)) = cos (2 x)

(\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) (\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)) = cos (2 x)

Sottrarre

cos (2 x)

da entrambi i lati

(\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) (\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)) - cos (2 x) = 0

Semplifica

(\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) (\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)) - cos (2 x) : \frac{( 3 cos ( x ) - sin ( x ) ) ( 3 cos ( x ) + sin ( x ) ) - 4 cos ( 2 x )}{4}

(\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) (\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)) - cos (2 x)

(\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) (\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x)) = \frac{( 3 cos ( x ) - sin ( x ) ) ( 3 cos ( x ) + sin ( x ) )}{4}

(\frac{3}{2} cos (x) - \frac{1}{2} sin (x)) (\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x))

\frac{3}{2} cos (x) = \frac{3 cos ( x )}{2}

\frac{3}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 cos ( x )}{2}

\frac{1}{2} sin (x) = \frac{sin ( x )}{2}

\frac{1}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{2}

Moltiplicare:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{2}

= (\frac{3 cos ( x )}{2} - \frac{sin ( x )}{2}) (\frac{3}{2} cos (x) + \frac{1}{2} sin (x))

\frac{3}{2} cos (x) = \frac{3 cos ( x )}{2}

\frac{3}{2} cos (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{3 cos ( x )}{2}

\frac{1}{2} sin (x) = \frac{sin ( x )}{2}

\frac{1}{2} sin (x)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{2}

Moltiplicare:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x )}{2}

= (\frac{3 cos ( x )}{2} - \frac{sin ( x )}{2}) (\frac{3 cos ( x )}{2} + \frac{sin ( x )}{2})

Semplifica

\frac{3 cos ( x )}{2} - \frac{sin ( x )}{2} : \frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{2}

\frac{3 cos ( x )}{2} - \frac{sin ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{2}

= \frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{2} (\frac{3 cos ( x )}{2} + \frac{sin ( x )}{2})

Combinare le frazioni

\frac{3 cos ( x )}{2} + \frac{sin ( x )}{2} : \frac{3 cos ( x ) + sin ( x )}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 cos ( x ) + sin ( x )}{2}

= \frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{2} (\frac{3 cos ( x ) + sin ( x )}{2})

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= \frac{3 cos ( x ) - sin ( x )}{2} \cdot \frac{3 cos ( x ) + sin ( x )}{2}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{( 3 cos ( x ) - sin ( x ) ) ( 3 cos ( x ) + sin ( x ) )}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{( 3 cos ( x ) - sin ( x ) ) ( 3 cos ( x ) + sin ( x ) )}{4}

= \frac{( 3 cos ( x ) - sin ( x ) ) ( 3 cos ( x ) + sin ( x ) )}{4} - cos (2 x)

Converti l'elemento in frazione:

cos (2 x) = \frac{cos ( 2 x ) 4}{4}

= \frac{( 3 cos ( x ) - sin ( x ) ) ( 3 cos ( x ) + sin ( x ) )}{4} - \frac{cos ( 2 x ) \cdot 4}{4}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{( 3 cos ( x ) - sin ( x ) ) ( 3 cos ( x ) + sin ( x ) ) - cos ( 2 x ) \cdot 4}{4}

\frac{( 3 cos ( x ) - sin ( x ) ) ( 3 cos ( x ) + sin ( x ) ) - 4 cos ( 2 x )}{4} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

(3 cos (x) - sin (x)) (3 cos (x) + sin (x)) - 4 cos (2 x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

(- sin (x) + cos (x) 3) (sin (x) + cos (x) 3) - 4 cos (2 x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= (- sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x)) - 4 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Semplificare

(- sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x)) - 4 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : - cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x)

(- sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x)) - 4 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Espandi

(- sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x)) : 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

(- sin (x) + 3 cos (x)) (sin (x) + 3 cos (x))

Applicare la formula differenza di due quadrati:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

a = 3 cos (x), b = sin (x)

= (3 cos (x))^{2} - sin^{2} (x)

(3 cos (x))^{2} = 3 cos^{2} (x)

(3 cos (x))^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= (3)^{2} cos^{2} (x)

(3)^{2} : 3

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= (3^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 3

= 3 cos^{2} (x)

= 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 4 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Espandi

- 4 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x)) : - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

- 4 (cos^{2} (x) - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - 4, b = cos^{2} (x), c = sin^{2} (x)

= - 4 cos^{2} (x) - (- 4) sin^{2} (x)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

= 3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

Semplifica

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) : - cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x)

3 cos^{2} (x) - sin^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

Aggiungi elementi simili:

3 cos^{2} (x) - 4 cos^{2} (x) = - cos^{2} (x)

= - cos^{2} (x) - sin^{2} (x) + 4 sin^{2} (x)

Aggiungi elementi simili:

- sin^{2} (x) + 4 sin^{2} (x) = 3 sin^{2} (x)

= - cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x)

= - cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x)

= - cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x)

- cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) = 0

Fattorizza

- cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x) : (3 sin (x) + cos (x)) (3 sin (x) - cos (x))

- cos^{2} (x) + 3 sin^{2} (x)

Riscrivi

3 sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

come

(3 sin (x))^{2} - cos^{2} (x)

3 sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Applicare la regola della radice:

a = (a)^{2}

3 = (3)^{2}

= (3)^{2} sin^{2} (x) - cos^{2} (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(3)^{2} sin^{2} (x) = (3 sin (x))^{2}

= (3 sin (x))^{2} - cos^{2} (x)

= (3 sin (x))^{2} - cos^{2} (x)

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(3 sin (x))^{2} - cos^{2} (x) = (3 sin (x) + cos (x)) (3 sin (x) - cos (x))

= (3 sin (x) + cos (x)) (3 sin (x) - cos (x))

(3 sin (x) + cos (x)) (3 sin (x) - cos (x)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

3 sin (x) + cos (x) = 0 or 3 sin (x) - cos (x) = 0

3 sin (x) + cos (x) = 0 : x = \frac{5 π}{6} + πn

3 sin (x) + cos (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

3 sin (x) + cos (x) = 0

Dividere entrambi lati per

\frac{3 sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Semplificare

\frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} + 1 = 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 tan (x) + 1 = 0

3 tan (x) + 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 tan (x) + 1 = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

3 tan (x) + 1 - 1 = 0 - 1

Semplificare

3 tan (x) = - 1

3 tan (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 tan (x) = - 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 tan ( x )}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 tan ( x )}{3} = \frac{- 1}{3}

Semplificare

\frac{3 tan ( x )}{3} : tan (x)

\frac{3 tan ( x )}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= tan (x)

Semplificare

\frac{- 1}{3} : - \frac{3}{3}

\frac{- 1}{3}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{3}

Razionalizzare

- \frac{1}{3} : - \frac{3}{3}

- \frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= - \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= - \frac{3}{3}

= - \frac{3}{3}

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x) = - \frac{3}{3}

Soluzioni generali per

tan (x) = - \frac{3}{3}

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{5 π}{6} + πn

x = \frac{5 π}{6} + πn

3 sin (x) - cos (x) = 0 : x = \frac{π}{6} + πn

3 sin (x) - cos (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

3 sin (x) - cos (x) = 0

Dividere entrambi lati per

\frac{3 sin ( x ) - cos ( x )}{cos ( x )} = \frac{0}{cos ( x )}

Semplificare

\frac{3 sin ( x )}{cos ( x )} - 1 = 0

Usare l'identità trigonometrica di base:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

3 tan (x) - 1 = 0

3 tan (x) - 1 = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

3 tan (x) - 1 = 0

Aggiungi

1

ad entrambi i lati

3 tan (x) - 1 + 1 = 0 + 1

Semplificare

3 tan (x) = 1

3 tan (x) = 1

Dividere entrambi i lati per

3

3 tan (x) = 1

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 tan ( x )}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 tan ( x )}{3} = \frac{1}{3}

Semplificare

\frac{3 tan ( x )}{3} : tan (x)

\frac{3 tan ( x )}{3}

Cancella il fattore comune:

3

= tan (x)

Semplificare

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Applicare la regola della radice:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x) = \frac{3}{3}

Soluzioni generali per

tan (x) = \frac{3}{3}

tan (x)

periodicità tabella con

πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

x = \frac{π}{6} + πn

x = \frac{π}{6} + πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{5 π}{6} + πn, x = \frac{π}{6} + πn

Grafico

Esempi popolari

arctan(x/(12))-arctan(x)=-pi

arctan (\frac{x}{12}) - arctan (x) = - π

solvefor θ,z*p*cos(θ)=5

so l v e f or θ, z \cdot p \cdot cos (θ) = 5

cos(4x)+sin(2x)=0

cos (4 x) + sin (2 x) = 0

sin(x+5)=cos(2x-2)

sin (x + 5) = cos (2 x - 2)

solvefor θ,z*p*cos(θ)=n

so l v e f or θ, z \cdot p \cdot cos (θ) = n