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prouver (sin(θ)-cos(θ))^2=1-2sin(θ)cos(θ)

Solution

prouver

(sin (θ) - cos (θ))^{2} = 1 - 2 sin (θ) cos (θ)

vrai

étapes des solutions

(sin (θ) - cos (θ))^{2} = 1 - 2 sin (θ) cos (θ)

En manipulant le côté gauche

(sin (θ) - cos (θ))^{2}

Développer

(- cos (θ) + sin (θ))^{2} : cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- cos (θ) + sin (θ))^{2}

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = - cos (θ), b = sin (θ)

= (- cos (θ))^{2} + 2 (- cos (θ)) sin (θ) + sin^{2} (θ)

Simplifier

(- cos (θ))^{2} + 2 (- cos (θ)) sin (θ) + sin^{2} (θ) : cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

(- cos (θ))^{2} + 2 (- cos (θ)) sin (θ) + sin^{2} (θ)

Retirer les parenthèses:

(- a) = - a

= (- cos (θ))^{2} - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

Appliquer la règle de l'exposant:

(- a)^{n} = a^{n},

n

pair

(- cos (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ) + sin^{2} (θ)

= cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ)

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 2 cos (θ) sin (θ)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= 1 - 2 cos (θ) sin (θ)

= 1 - 2 cos (θ) sin (θ)

= 1 - 2 sin (θ) cos (θ)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

p ro v e cot (θ) sin (θ) sec (θ) = 1

p ro v e cos^{4} (x) = 1 - 2 sin^{2} (x) + sin^{4} (x)

p ro v e \frac{sec ( x ) + tan ( x )}{csc ( x ) + 1} = tan (x)

p ro v e sec (x) tan (x) cos (x) cot (x) = 1

p ro v e 1 - sec (x) cos^{3} (x) = sin^{2} (x)