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Beliebt Trigonometrie >

beweisen tan(pi/4+x)=(1+sin(2x))/(cos(2x))

Lösung

beweisen

tan (\frac{π}{4} + x) = \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Lösung

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (\frac{π}{4} + x) = \frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Manipuliere die linke Seite

tan (\frac{π}{4} + x)

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

tan (\frac{π}{4} + x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( \frac{π}{4} + x )}{cos ( \frac{π}{4} + x )}

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= \frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( x ) + cos ( \frac{π}{4} ) sin ( x )}{cos ( \frac{π}{4} + x )}

Benutze die Identität der Winkelsumme:

cos (s + t) = cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)

= \frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( x ) + cos ( \frac{π}{4} ) sin ( x )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( x ) - sin ( \frac{π}{4} ) sin ( x )}

Vereinfache

\frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( x ) + cos ( \frac{π}{4} ) sin ( x )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( x ) - sin ( \frac{π}{4} ) sin ( x )} : \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{sin ( \frac{π}{4} ) cos ( x ) + cos ( \frac{π}{4} ) sin ( x )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( x ) - sin ( \frac{π}{4} ) sin ( x )}

sin (\frac{π}{4}) cos (x) + cos (\frac{π}{4}) sin (x) = \frac{2}{2} cos (x) + \frac{2}{2} sin (x)

sin (\frac{π}{4}) cos (x) + cos (\frac{π}{4}) sin (x)

Vereinfache

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) + cos (\frac{π}{4}) sin (x)

Vereinfache

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) + \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}{cos ( \frac{π}{4} ) cos ( x ) - sin ( \frac{π}{4} ) sin ( x )}

cos (\frac{π}{4}) cos (x) - sin (\frac{π}{4}) sin (x) = \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

cos (\frac{π}{4}) cos (x) - sin (\frac{π}{4}) sin (x)

Vereinfache

cos (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

cos (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - sin (\frac{π}{4}) sin (x)

Vereinfache

sin (\frac{π}{4}) : \frac{2}{2}

sin (\frac{π}{4})

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2} cos (x) - \frac{2}{2} sin (x)

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2}{2} cos ( x ) - \frac{2}{2} sin ( x )}

Multipliziere

\frac{2}{2} cos (x) : \frac{2 cos ( x )}{2}

\frac{2}{2} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2}{2} sin ( x )}

Multipliziere

\frac{2}{2} sin (x) : \frac{2 sin ( x )}{2}

\frac{2}{2} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2}{2} cos ( x ) + \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Multipliziere

\frac{2}{2} cos (x) : \frac{2 cos ( x )}{2}

\frac{2}{2} cos (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 cos ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2}{2} sin ( x )}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Multipliziere

\frac{2}{2} sin (x) : \frac{2 sin ( x )}{2}

\frac{2}{2} sin (x)

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x )}{2} - \frac{2 s i n ( x )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 cos ( x )}{2} - \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x )}{2} + \frac{2 s i n ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{2 cos ( x )}{2} + \frac{2 sin ( x )}{2} : \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2}

= \frac{\frac{2 c o s ( x ) + 2 s i n ( x )}{2}}{\frac{2 c o s ( x ) - 2 s i n ( x )}{2}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( 2 cos ( x ) + 2 sin ( x ) ) \cdot 2}{2 ( 2 cos ( x ) - 2 sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{2 cos ( x ) + 2 sin ( x )}{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{2 cos ( x ) - 2 sin ( x )}

Klammere gleiche Terme aus

2

= \frac{2 ( cos ( x ) + sin ( x ) )}{2 ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + sin ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

Manipuliere die rechte Seite

\frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{1 + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + sin ( 2 x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Vereinfache

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )} : \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) + 2 sin ( x ) cos ( x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = sin (x), b = cos (x)

= \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ^{2}}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = (cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

= \frac{( sin ( x ) + cos ( x ) ) ^{2}}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x) + cos (x)

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{cos ( x ) - sin ( x )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

Beliebte Beispiele

beweisen sin^2(x)+1/(sec^2(x))=sin(x)csc(x)

p ro v e sin^{2} (x) + \frac{1}{sec ^{2} ( x )} = sin (x) csc (x)

beweisen sin(x)=sqrt(1-cos(x))

p ro v e sin (x) = 1 - cos (x)

beweisen (sec(2x)+1)/(tan(2x))=cot(x)

p ro v e \frac{sec ( 2 x ) + 1}{tan ( 2 x )} = cot (x)

beweisen cos^2(6θ)-sin^2(6θ)=cos(12θ)

p ro v e cos^{2} (6 θ) - sin^{2} (6 θ) = cos (12 θ)

beweisen (cos(β))/(tan(β))=csc(β)-sin(β)

p ro v e \frac{cos ( β )}{tan ( β )} = csc (β) - sin (β)