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beweisen (sec^2(x)cot(x))/(csc^2(x))=tan(x)

Lösung

beweisen

\frac{sec ^{2} ( x ) cot ( x )}{csc ^{2} ( x )} = tan (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sec ^{2} ( x ) cot ( x )}{csc ^{2} ( x )} = tan (x)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sec ^{2} ( x ) cot ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Drücke mit sin, cos aus

\frac{cot ( x ) sec ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} sec ^{2} ( x )}{csc ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{csc ^{2} ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

Vereinfache

\frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}} : \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{\frac{c o s ( x )}{s i n ( x )} ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{( \frac{1}{s i n ( x )} ) ^{2}}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2} = \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

(\frac{1}{sin ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{sin ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{sin ^{2} ( x )}

= \frac{( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2} \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Multipliziere

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} (\frac{1}{cos ( x )})^{2} : \frac{1}{cos ( x ) sin ( x )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} (\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) ( \frac{1}{c o s ( x )} ) ^{2}}{sin ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2} = \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

(\frac{1}{cos ( x )})^{2}

Wende Exponentenregel an:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= \frac{1 ^{2}}{cos ^{2} ( x )}

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ^{2} ( x )} cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere

cos (x) \frac{1}{cos ^{2} ( x )} : \frac{1}{cos ( x )}

cos (x) \frac{1}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= \frac{cos ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= \frac{1}{cos ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( x )}}{sin ( x )}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{1}{cos ( x ) sin ( x )}

= \frac{\frac{1}{c o s ( x ) s i n ( x )}}{\frac{1}{s i n ^{2} ( x )}}

Teile Brüche:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{1 \cdot sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x ) \cdot 1}

Fasse zusammen

= \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (x)

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e \frac{sec ^{2} ( y )}{tan ( y )} = tan (y) + cot (y)

p ro v e cos (6 x) = 1 - 2 sin^{2} (3 x)

p ro v e tan (x - 36 0^{\circ}) = tan (x)

p ro v e cos^{2} (x) - 1 = - sin^{2} (x)

p ro v e \frac{( 1 - cos ( - x ) )}{sec ( - x ) - 1} = cos (x)