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Beliebt Trigonometrie >

(2sin^2(x))/(sin(x)-1)<-1

Lösung

\frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} < - 1

Lösung

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Intervall-Notation

(\frac{π}{6} + 2 πn, \frac{π}{2} + 2 πn) \cup (\frac{π}{2} + 2 πn, \frac{5 π}{6} + 2 πn)

Dezimale

0.52359 \dots + 2 πn < x < 1.57079 \dots + 2 πn or 1.57079 \dots + 2 πn < x < 2.61799 \dots + 2 πn

Schritte zur Lösung

\frac{2 sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) - 1} < - 1

Angenommen:

u = sin (x)

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1 : u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

Rewrite in standard form

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} < - 1

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 < - 1 + 1

Vereinfache

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 < 0

Vereinfache

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1 : \frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{2}}{u - 1} + 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 ( u - 1 )}{u - 1}

= \frac{2 u ^{2}}{u - 1} + \frac{1 \cdot ( u - 1 )}{u - 1}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 u ^{2} + 1 \cdot ( u - 1 )}{u - 1}

1 \cdot (u - 1) = u - 1

1 \cdot (u - 1)

Multipliziere:

1 \cdot (u - 1) = (u - 1)

= (u - 1)

Entferne die Klammern:

(a) = a

= u - 1

= \frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} < 0

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} < 0

Faktorisiere

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1} : \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

\frac{2 u ^{2} + u - 1}{u - 1}

Faktorisiere

2 u^{2} + u - 1 : (2 u - 1) (u + 1)

2 u^{2} + u - 1

Zerlege die Ausdrücke in Gruppen

2 u^{2} + u - 1

Definition

Faktoren von

2 : 1, 2

2

Teiler (Faktoren)

Finde die Primfaktoren von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Addiere 1

1

Die Faktoren von

2

1, 2

Negative Faktoren von

2 : - 1, - 2

Multipliziere die Faktoren mit

- 1

um die negativen Faktoren zu erhalten

- 1, - 2

Für alle zwei Faktoren gilt

u * v = - 2,

prüfe, ob

u + v = 1

Prüfe

u = 1, v = - 2 : u * v = - 2, u + v = - 1 \Rightarrow

FalschPrüfe

u = 2, v = - 1 : u * v = - 2, u + v = 1 \Rightarrow

Wahr

u = 2, v = - 1

Gruppiere

(a x^{2} + ux) + (vx + c)

(2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

= (2 u^{2} - u) + (2 u - 1)

Klammere

u

aus

2 u^{2} - u

aus

: u (2 u - 1)

2 u^{2} - u

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

u^{2} = uu

= 2 uu - u

Klammere gleiche Terme aus

u

= u (2 u - 1)

= u (2 u - 1) + (2 u - 1)

Klammere gleiche Terme aus

2 u - 1

= (2 u - 1) (u + 1)

= \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

\frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1} < 0

Identifiziere die Intervalle

Finde die Vorzeichen der Faktoren von

\frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1}

Finde die Vorzeichen von

2 u - 1

2 u - 1 = 0 : u = \frac{1}{2}

2 u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

2 u = 1

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u = 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}

Vereinfache

u = \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0 : u < \frac{1}{2}

2 u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

2 u < 1

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u < 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} < \frac{1}{2}

Vereinfache

u < \frac{1}{2}

u < \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0 : u > \frac{1}{2}

2 u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

2 u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

2 u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

2 u > 1

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

2 u > 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 u}{2} > \frac{1}{2}

Vereinfache

u > \frac{1}{2}

u > \frac{1}{2}

Finde die Vorzeichen von

u + 1

u + 1 = 0 : u = - 1

u + 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 = 0 - 1

Vereinfache

u = - 1

u = - 1

u + 1 < 0 : u < - 1

u + 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 < 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 < 0 - 1

Vereinfache

u < - 1

u < - 1

u + 1 > 0 : u > - 1

u + 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u + 1 > 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

u + 1 - 1 > 0 - 1

Vereinfache

u > - 1

u > - 1

Finde die Vorzeichen von

u - 1

u - 1 = 0 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

u - 1 < 0 : u < 1

u - 1 < 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 < 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 < 0 + 1

Vereinfache

u < 1

u < 1

u - 1 > 0 : u > 1

u - 1 > 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 > 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 > 0 + 1

Vereinfache

u > 1

u > 1

Finde Singularitätspunkte

Finde die Nullstellen des Nenners

u - 1 : u = 1

u - 1 = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

u - 1 = 0

Füge

1

zu beiden Seiten hinzu

u - 1 + 1 = 0 + 1

Vereinfache

u = 1

u = 1

Fasse in einer Tabelle zusammen:

2 u - 1 u + 1 u - 1 \frac{( 2 u - 1 ) ( u + 1 )}{u - 1} u < - 1 - - - - u = - 1 - 0 - 0 - 1 < u < \frac{1}{2} - + - + u = \frac{1}{2} 0 + - 0 \frac{1}{2} < u < 1 + + - - u = 1 + + 0 Unbestimmt u > 1 + + + +

Finde die Intervalle, die geforderte Bedingung erfüllen:

< 0

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

u < - 1 or \frac{1}{2} < u < 1

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) < - 1 or \frac{1}{2} < sin (x) < 1

sin (x) < - 1 :

Falsch für alle

x \in R

sin (x) < - 1

Bereich von

sin (x) : - 1 \leq sin (x) \leq 1

Definition Funktionsbereich

The range of the basic

sin

function is

- 1 \leq sin (x) \leq 1

- 1 \leq sin (x) \leq 1

sin (x) < - 1 and - 1 \leq sin (x) \leq 1 :

Falsch

Angenommen

y = sin (x)

Kombiniere die Bereiche

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y < - 1 and - 1 \leq y \leq 1

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y < - 1

und

- 1 \leq y \leq 1

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

\frac{1}{2} < sin (x) < 1 : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} < sin (x) < 1

Wenn

a < u < b

dann

a < u and u < b

\frac{1}{2} < sin (x) and sin (x) < 1

\frac{1}{2} < sin (x) : \frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

\frac{1}{2} < sin (x)

Tausche die Seiten

sin (x) > \frac{1}{2}

Für

sin (x) > a

, wenn

- 1 \leq a < 1

dann

arcsin (a) + 2 πn < x < π - arcsin (a) + 2 πn

arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn < x < π - arcsin (\frac{1}{2}) + 2 πn

Vereinfache

arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{π}{6}

arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{6}

Vereinfache

π - arcsin (\frac{1}{2}) : \frac{5 π}{6}

π - arcsin (\frac{1}{2})

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (\frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= π - \frac{π}{6}

Vereinfache

π - \frac{π}{6}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 6}{6}

= \frac{π 6}{6} - \frac{π}{6}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 6 - π}{6}

Addiere gleiche Elemente:

6 π - π = 5 π

= \frac{5 π}{6}

= \frac{5 π}{6}

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

sin (x) < 1 : - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

sin (x) < 1

Für

sin (x) < a

, wenn

- 1 < a \leq 1

dann

- π - arcsin (a) + 2 πn < x < arcsin (a) + 2 πn

- π - arcsin (1) + 2 πn < x < arcsin (1) + 2 πn

Vereinfache

- π - arcsin (1) : - \frac{3 π}{2}

- π - arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= - π - \frac{π}{2}

Vereinfache

- π - \frac{π}{2}

Wandle das Element in einen Bruch um:

π = \frac{π 2}{2}

= - \frac{π 2}{2} - \frac{π}{2}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π 2 - π}{2}

Addiere gleiche Elemente:

- 2 π - π = - 3 π

= \frac{- 3 π}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{3 π}{2}

= - \frac{3 π}{2}

Vereinfache

arcsin (1) : \frac{π}{2}

arcsin (1)

Verwende die folgende triviale Identität:

arcsin (1) = \frac{π}{2}

x 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 arcsin (x) 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} arcsin (x) 0^{\circ} 3 0^{\circ} 4 5^{\circ} 6 0^{\circ} 9 0^{\circ}

= \frac{π}{2}

- \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn and - \frac{3 π}{2} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Kombiniere die Bereiche

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R or (\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn)

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

\frac{π}{6} + 2 πn < x < \frac{π}{2} + 2 πn or \frac{π}{2} + 2 πn < x < \frac{5 π}{6} + 2 πn

Beliebte Beispiele

pi/2-arctan(e^x)>0.0001

\frac{π}{2} - arctan (e^{x}) > 0.0001

tan(θ)-4/5 cos(θ)>0csc(θ)

tan (θ) - \frac{4}{5} cos (θ) > 0 csc (θ)

cot(x)>-1/(sqrt(3))

cot (x) > - \frac{1}{3}

(cos(x)-1.5708)(cos(x)+1.5708)<= 0

(cos (x) - 1.5708) (cos (x) + 1.5708) \leq 0

cot(pi-x)<-1

cot (π - x) < - 1