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Beliebt Trigonometrie >

2arcsin(x^2-2x+(sqrt(3))/2)>(3pi)/2

Lösung

2 arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) > \frac{3 π}{2}

Lösung

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Schritte zur Lösung

2 arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) > \frac{3 π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

2 arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) > \frac{3 π}{2}

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 arcsin ( x ^{2} - 2 x + \frac{3}{2} )}{2} > \frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 arcsin ( x ^{2} - 2 x + \frac{3}{2} )}{2} > \frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Vereinfache

\frac{2 arcsin ( x ^{2} - 2 x + \frac{3}{2} )}{2} : arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2})

\frac{2 arcsin ( x ^{2} - 2 x + \frac{3}{2} )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2})

Vereinfache

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} : \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) > \frac{3 π}{4}

arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) > \frac{3 π}{4}

arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) > \frac{3 π}{4}

Bereich von

arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) : arcsin (\frac{3}{2} - 1) \leq arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) \leq \frac{π}{2}

Definition Funktionsbereich

Bereich von

x^{2} - 2 x + \frac{3}{2} : f (x) \geq \frac{3}{2} - 1

Definition Funktionsbereich

Finde den Minimal- und Maximalwert in jedem definierten Intervall und füge die Ergebnisse zusammen.

Bereich von

x^{2} - 2 x + \frac{3}{2} :

Wahr für alle

x \in R

Definition Bereich

Die Funktion hat keine unbestimmten Punkte oder Bereichsbegrenzungen. Deshalb ist der Bereich:

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Extrempunkte vonf

x^{2} - 2 x + \frac{3}{2} :

Minimum

(1, \frac{3}{2} - 1)

Definition erster Ableitungstest

f^{'} (x) = 2 x - 2

\frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2})

Wende die Summen-/Differenzregel an:

(f \pm g)^{'} = f^{'} \pm g^{'}

= \frac{d}{d x} (x^{2}) - \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{3}{2})

\frac{d}{d x} (x^{2}) = 2 x

\frac{d}{d x} (x^{2})

Wende die Potenzregel an:

\frac{d}{d x} (x^{a}) = a \cdot x^{a - 1}

= 2 x^{2 - 1}

Vereinfache

= 2 x

\frac{d}{d x} (2 x) = 2

\frac{d}{d x} (2 x)

Entferne die Konstante:

(a \cdot f)^{'} = a \cdot f^{'}

= 2 \frac{d x}{d x}

Wende die allgemeine Ableitungsregel an:

\frac{d x}{d x} = 1

= 2 \cdot 1

Vereinfache

= 2

\frac{d}{d x} (\frac{3}{2}) = 0

\frac{d}{d x} (\frac{3}{2})

Ableitung einer Konstanten:

\frac{d}{d x} (a) = 0

= 0

= 2 x - 2 + 0

Vereinfache

= 2 x - 2

Intervalle finden:

Absteigend

: - \infty < x < 1,

Ansteigend

: 1 < x < \infty

f^{'} (x) = 2 x - 2

Bestimme den kritischen Punkt:

x = 1

Definition kritischer Punkt

f^{'} (x) = 0 : x = 1

2 x - 2 = 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 x - 2 = 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

2 x - 2 + 2 = 0 + 2

Vereinfache

2 x = 2

2 x = 2

Teile beide Seiten durch

2

2 x = 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}

Vereinfache

x = 1

x = 1

x = 1

f^{'} (x) > 0 : x > 1

2 x - 2 > 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 x - 2 > 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

2 x - 2 + 2 > 0 + 2

Vereinfache

2 x > 2

2 x > 2

Teile beide Seiten durch

2

2 x > 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} > \frac{2}{2}

Vereinfache

x > 1

x > 1

f^{'} (x) < 0 : x < 1

2 x - 2 < 0

Verschiebe

2

auf die rechte Seite

2 x - 2 < 0

Füge

2

zu beiden Seiten hinzu

2 x - 2 + 2 < 0 + 2

Vereinfache

2 x < 2

2 x < 2

Teile beide Seiten durch

2

2 x < 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 x}{2} < \frac{2}{2}

Vereinfache

x < 1

x < 1

Kombiniere Intervalle mit Bereich

Bereich von

x^{2} - 2 x + \frac{3}{2} :

Wahr für alle

x \in R

Definition Bereich

Die Funktion hat keine unbestimmten Punkte oder Bereichsbegrenzungen. Deshalb ist der Bereich:

Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Kombiniere

x = 1

mit Domäne:

x = 1

x = 1 and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Vereinfache

x = 1

Kombiniere

1 < x < \infty

mit Domäne:

x > 1

1 < x < \infty and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Vereinfache

x > 1

Kombiniere

- \infty < x < 1

mit Domäne:

x < 1

- \infty < x < 1 and Wahr f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Vereinfache

x < 1

- \infty < x < 1, x = 1, 1 < x < \infty

- \infty < x < 1, x = 1, 1 < x < \infty

Zusammenfassung des monotonen Intervallverhaltens

Zeichen Verhalten - \infty < x < 1 f^{'} (x) < 0 Absteigend x = 1 f^{'} (x) = 0 Minimum 1 < x < \infty f^{'} (x) > 0 Ansteigend

Absteigend : - \infty < x < 1, Ansteigend : 1 < x < \infty

Stecke

x = 1

x^{2} - 2 x + \frac{3}{2} : \frac{3}{2} - 1

1^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{3}{2}

Vereinfache

\frac{3}{2} - 1

Minimum (1, \frac{3}{2} - 1)

Ermittle den Bereich des Intervalls

- \infty < x < \infty : \frac{3}{2} - 1 \leq f (x) < \infty

Berechen die Funktionswerte am Rande des Intervalls:

x \to - \infty lim (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) = \infty

x \to - \infty lim (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2})

x \to a lim [f (x) \pm g (x)] = x \to a lim f (x) \pm x \to a lim g (x)

mit Einschränkung des unbestimmten Ausdrucks

= x \to - \infty lim (x^{2}) - x \to - \infty lim (2 x) + x \to - \infty lim (\frac{3}{2})

x \to - \infty lim (x^{2}) = \infty

x \to - \infty lim (x^{2})

Wende die Unendlichkeitseigenschaft an:

x \to \pm \infty lim (a x^{n} + \dots + b x + c) = \infty, a > 0,

n is even

a = 1, n = 2

= \infty

x \to - \infty lim (2 x) = - \infty

x \to - \infty lim (2 x)

Wende die Unendlichkeitseigenschaft an:

x \to - \infty lim (a x^{n} + \dots + b x + c) = - \infty, a > 0,

n is odd

a = 2, n = 1

= - \infty

x \to - \infty lim (\frac{3}{2}) = \frac{3}{2}

x \to - \infty lim (\frac{3}{2})

x \to a lim c = c

= \frac{3}{2}

= \infty - (- \infty) + \frac{3}{2}

Vereinfache

\infty - (- \infty) + \frac{3}{2} : \infty

\infty - (- \infty) + \frac{3}{2}

Wende die Unendlichkeitseigenschaft an:

\infty + \infty = \infty

= \infty + \frac{3}{2}

Wende die Unendlichkeitseigenschaft an:

\infty + c = \infty

= \infty

= \infty

x \to \infty lim (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) = \infty

x \to \infty lim (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2})

Wende die folgende algebraische Eigenschaft an

: a + b = a (1 + \frac{b}{a})

x^{2} - 2 x + \frac{3}{2} = x^{2} (1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{2 x ^{2}})

= x \to \infty lim (x^{2} (1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{2 x ^{2}}))

x \to a lim [f (x) \cdot g (x)] = x \to a lim f (x) \cdot x \to a lim g (x)

mit Einschränkung des unbestimmten Ausdrucks

= x \to \infty lim (x^{2}) \cdot x \to \infty lim (1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{2 x ^{2}})

x \to \infty lim (x^{2}) = \infty

x \to \infty lim (x^{2})

Wende die Unendlichkeitseigenschaft an:

x \to \pm \infty lim (a x^{n} + \dots + b x + c) = \infty, a > 0,

n is even

a = 1, n = 2

= \infty

x \to \infty lim (1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{2 x ^{2}}) = 1

x \to \infty lim (1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{2 x ^{2}})

x \to a lim [f (x) \pm g (x)] = x \to a lim f (x) \pm x \to a lim g (x)

mit Einschränkung des unbestimmten Ausdrucks

= x \to \infty lim (1) - x \to \infty lim (\frac{2}{x}) + x \to \infty lim (\frac{3}{2 x ^{2}})

x \to \infty lim (1) = 1

x \to \infty lim (1)

x \to a lim c = c

= 1

x \to \infty lim (\frac{2}{x}) = 0

x \to \infty lim (\frac{2}{x})

Wende die Unendlichkeitseigenschaft an:

x \to \infty lim (\frac{c}{x ^{a}}) = 0

= 0

x \to \infty lim (\frac{3}{2 x ^{2}}) = 0

x \to \infty lim (\frac{3}{2 x ^{2}})

x \to a lim [c \cdot f (x)] = c \cdot x \to a lim f (x)

= \frac{3}{2} \cdot x \to \infty lim (\frac{1}{x ^{2}})

x \to a lim [\frac{f ( x )}{g ( x )}] = \frac{lim _{x \to a} f ( x )}{lim _{x \to a} g ( x )}, x \to a lim g (x) \neq = 0

mit Einschränkung des unbestimmten Ausdrucks

= \frac{3}{2} \cdot \frac{lim _{x \to \infty} ( 1 )}{lim _{x \to \infty} ( x ^{2} )}

x \to \infty lim (1) = 1

x \to \infty lim (1)

x \to a lim c = c

= 1

x \to \infty lim (x^{2}) = \infty

x \to \infty lim (x^{2})

Wende die Unendlichkeitseigenschaft an:

x \to \pm \infty lim (a x^{n} + \dots + b x + c) = \infty, a > 0,

n is even

a = 1, n = 2

= \infty

= \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\infty}

Vereinfache

\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\infty} : 0

\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\infty}

Wende die Unendlichkeitseigenschaft an:

\frac{c}{\infty} = 0

= \frac{3}{2} \cdot 0

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

= 0

= 1 - 0 + 0

Vereinfache

= 1

= \infty \cdot 1

Wende die Unendlichkeitseigenschaft an:

c \cdot \infty = \infty

= \infty

Der Minimalpunkt des Intervalls liegt bei

x = 1

mit dem Wert

f (1) = \frac{3}{2} - 1

Füge die Funktionswerte am Rande des Intervalls mit den Extremwerten des Funktionsintervalls zusammen.

Minimalwert der Funktion im Domänenintervall

- \infty < x < \infty

ist

\frac{3}{2} - 1

Maximalwert der Funktion im Domänenintervall

- \infty < x < \infty

ist

\infty

Deshalb ist der Bereich von

x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}

beim Domänenintervall

- \infty < x < \infty

\frac{3}{2} - 1 \leq f (x) < \infty

Kombiniere die Bereiche aller Domänenintervalle, um den Funktionsbereich zu erhalten.

f (x) \geq \frac{3}{2} - 1

arcsin

eine aufsteigende Funktion mit dem Bereich von

- \frac{π}{2} \leq arcsin (x) \leq \frac{π}{2}

und

x^{2} - 2 x + \frac{3}{2} \geq \frac{3}{2} - 1

ist

arcsin (\frac{3}{2} - 1) \leq arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) \leq \frac{π}{2}

arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) > \frac{3 π}{4} and arcsin (\frac{3}{2} - 1) \leq arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2}) \leq \frac{π}{2} :

Falsch

Angenommen

y = arcsin (x^{2} - 2 x + \frac{3}{2})

Kombiniere die Bereiche

y > \frac{3 π}{4} and arcsin (\frac{3}{2} - 1) \leq y \leq \frac{π}{2}

Füge die sich überschneidenden Intervalle zusammen

y > \frac{3 π}{4} and arcsin (\frac{3}{2} - 1) \leq y \leq \frac{π}{2}

Die Schnittmenge zweier Intervalle ist die Menge der Zahlen, die in beiden Intervallen liegen

y > \frac{3 π}{4}

und

arcsin (\frac{3}{2} - 1) \leq y \leq \frac{π}{2}

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle y \in R

Keine L \overset{o}{¨} sung f \overset{u}{¨} r x \in R

Falsch f \overset{u}{¨} r alle x \in R

Beliebte Beispiele

pi/2-arctan(e^x)<0.01

\frac{π}{2} - arctan (e^{x}) < 0.01

2>(24)/(sin(θ))

2 > \frac{24}{sin ( θ )}

5sin(1/2 (x+pi/4))-1>= 7

5 sin (\frac{1}{2} (x + \frac{π}{4})) - 1 \geq 7

arctan(x)<= 10^3

arctan (x) \leq 1 0^{3}

4sin^2(x)>= 1

4 sin^{2} (x) \geq 1