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Popolare Trigonometria >

tan(x)*tan(2x)>1

Soluzione

tan (x) \cdot tan (2 x) > 1

Soluzione

πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Notazione dell’intervallo

(πn, \frac{π}{4} + πn) \cup (\frac{3 π}{4} + πn, π + πn)

Decimale

πn < x < 0.78539 \dots + πn or 2.35619 \dots + πn < x < 3.14159 \dots + πn

Fasi della soluzione

tan (x) tan (2 x) > 1

Periodicità di

tan (x) tan (2 x) : π

tan (x) tan (2 x)

è composta dalle seguenti funzioni e periodi:

tan (x)

con periodicità di

π

La periodicità composta è:

= π

Esprimere con sen e cos

tan (x) tan (2 x) > 1

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} tan (2 x) > 1

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} > 1

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} > 1

Semplificare

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )} : \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} \cdot \frac{sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Moltiplica le frazioni:

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

= \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

\frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )} > 1

Trova gli zeri e i punti non definiti della

\frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )}

per

0 \leq x < π

Per trovare gli zeri, imposta l'ineguaglianza a zero

\frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )} = 0

\frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )} = 0, 0 \leq x < π : x = 0

\frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x ) cos ( 2 x )} = 0, 0 \leq x < π

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

sin (x) sin (2 x) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

sin (x) = 0 or sin (2 x) = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0

sin (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

sin (x) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

x = 0 + 2 πn, x = π + 2 πn

Risolvi

x = 0 + 2 πn : x = 2 πn

x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

x = 2 πn

x = 2 πn, x = π + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = 0

sin (2 x) = 0, 0 \leq x < π : x = 0, x = \frac{π}{2}

sin (2 x) = 0, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

sin (2 x) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

2 x = 0 + 2 πn, 2 x = π + 2 πn

Risolvi

2 x = 0 + 2 πn : x = πn

2 x = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

2 x = 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{2 πn}{2}

Semplificare

x = πn

x = πn

Risolvi

2 x = π + 2 πn : x = \frac{π}{2} + πn

2 x = π + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = π + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

x = \frac{π}{2} + πn

x = \frac{π}{2} + πn

x = πn, x = \frac{π}{2} + πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = 0, x = \frac{π}{2}

Combinare tutte le soluzioni

x = 0, x = \frac{π}{2}

Poiché l'equazione è non definita per:

\frac{π}{2}

x = 0

Trova i punti non definiti:

x = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Trova le radici del denominatore

cos (x) cos (2 x) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

cos (x) = 0 or cos (2 x) = 0

cos (x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{2}

cos (x) = 0, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

cos (x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

x = \frac{π}{2} + 2 πn, x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{2}

cos (2 x) = 0, 0 \leq x < π : x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

cos (2 x) = 0, 0 \leq x < π

Soluzioni generali per

cos (2 x) = 0

cos (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn, 2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Risolvi

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn : x = \frac{π}{4} + πn

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = \frac{π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{4} + πn

\frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{2}}{2} = \frac{π}{4}

\frac{\frac{π}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn

Risolvi

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn : x = \frac{3 π}{4} + πn

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = \frac{3 π}{2} + 2 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Semplificare

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= x

Semplificare

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{4} + πn

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2} = \frac{3 π}{4}

\frac{\frac{3 π}{2}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{2 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{3 π}{4}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{3 π}{4} + πn

x = \frac{π}{4} + πn, x = \frac{3 π}{4} + πn

Soluzioni per l'intervallo

0 \leq x < π

x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{4}, x = \frac{3 π}{4}

0, \frac{π}{4}, \frac{π}{2}, \frac{3 π}{4}

Identifica gli intervalli

0 < x < \frac{π}{4}, \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}, \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{4} < x < π

Riassumere in una tabella:

sin (x) sin (2 x) cos (x) cos (2 x) \frac{s i n ( x ) s i n ( 2 x )}{c o s ( x ) c o s ( 2 x )} x = 0 00 + + 0 0 < x < \frac{π}{4} + + + + + x = \frac{π}{4} + + + 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{π}{4} < x < \frac{π}{2} + + + - - x = \frac{π}{2} + 00 - “ N o n d e f ini t o “ \frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{4} + - - - - x = \frac{3 π}{4} + - - 0 “ N o n d e f ini t o “ \frac{3 π}{4} < x < π + - - + + x = π 00 - + 0

Identificare gli intervalli che soddisfano la condizione richiesta:

> 0

0 < x < \frac{π}{4} or \frac{3 π}{4} < x < π

Applicare la periodicità di

tan (x) tan (2 x)

πn < x < \frac{π}{4} + πn or \frac{3 π}{4} + πn < x < π + πn

Esempi popolari

sin(x)-sqrt(3)cos(x)>sqrt(2)